Problema di cardinalità..
Ciao a tutti, è il mio primo post qui dentro, ma spero di poter essere d'aiuto a qualcuno pure io in futuro.
Ho cercato sul forum, con il "Cerca" ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio.
Sto scrivendo la tesi e mi sono trovato davanti ad un problemino molto carino, che ho subito pensato (ahimè) di generalizzare per trovare una soluzione, appunto, generale.
Il problema (ristretto) è sulla cardinalità di $\mathbb{P}_K^n$, ovvero quanti punti possiede lo spazio proiettivo di dimensione $n$ su un campo finito $K$ di dimensione $q=p^m$?
Ricordando che $\mathbb{P}_K^n$ è uno spazio quoziente, il problema si traduce quindi in quello più ampio:
Quante classi di equivalenza distinte ci sono, dato uno spazio finito $X$ e una relazione $\rho$ tra i suoi elementi?
Ipotizzando che la soluzione al primo fosse semplicemente dividere la cardinalità di $K^{n+1}\setminus \{\mathbf{0}\}$ per la dimensione di una generica classe di equivalenza $|[x]|=\phi(q)=p^{m-1}(p-1)$, sono stato portato presumibilmente fuori strada, visto che questo procedimento restituisce un intero (corretto, per quel che sono riuscito a vedere "a mano") solo nel caso in cui $m$ sia $1$, per tutti gli altri casi il risultato è una frazione.
Spero che qualcuno sappia darmi una mano!
Grazie!
Davide
Ho cercato sul forum, con il "Cerca" ma non ho trovato nulla che facesse al caso mio.
Sto scrivendo la tesi e mi sono trovato davanti ad un problemino molto carino, che ho subito pensato (ahimè) di generalizzare per trovare una soluzione, appunto, generale.
Il problema (ristretto) è sulla cardinalità di $\mathbb{P}_K^n$, ovvero quanti punti possiede lo spazio proiettivo di dimensione $n$ su un campo finito $K$ di dimensione $q=p^m$?
Ricordando che $\mathbb{P}_K^n$ è uno spazio quoziente, il problema si traduce quindi in quello più ampio:
Quante classi di equivalenza distinte ci sono, dato uno spazio finito $X$ e una relazione $\rho$ tra i suoi elementi?
Ipotizzando che la soluzione al primo fosse semplicemente dividere la cardinalità di $K^{n+1}\setminus \{\mathbf{0}\}$ per la dimensione di una generica classe di equivalenza $|[x]|=\phi(q)=p^{m-1}(p-1)$, sono stato portato presumibilmente fuori strada, visto che questo procedimento restituisce un intero (corretto, per quel che sono riuscito a vedere "a mano") solo nel caso in cui $m$ sia $1$, per tutti gli altri casi il risultato è una frazione.
Spero che qualcuno sappia darmi una mano!
Grazie!
Davide
Risposte
L'insieme delle classi di equivalenza forma una partizione dell'insieme. In generale il fatto che una classe di equivalenza abbia una certa cardinalità non significa che tutte le partizioni abbiano quella cardinalità...
Devi studiare con attenzione la relazione per poter fare affermazioni più precise.
Esattamente quando parli di relazioni di equivalenza dai per scontato che lo spazio quoziente sia uno spazio vettoriale?
Devi studiare con attenzione la relazione per poter fare affermazioni più precise.
Esattamente quando parli di relazioni di equivalenza dai per scontato che lo spazio quoziente sia uno spazio vettoriale?
No, ovviamente in generale no.
Se parti da un insieme qualsiasi e lo quozienti non puoi avere uno spazio vettoriale come risultato.
Però quozientando uno spazio vettoriale $n+1$ dimensionale (privato del vettore nullo) con la relazione di equivalenza definita da $x\rho y$ se e solo e $x=\alpha y$ con $\alpha$ appartenente $K$ quello che ottieni è una delle definizioni di spazio proiettivo.
Considerando tutte le dimensioni finite quello che ottieni è finito.
Per di più la classe di equivalenza di un qualsiasi elemento (stiamo escludendo il vettore nullo) contiene $\phi (p^m)$ elementi, con $\phi$ la funzione di Eulero e $p^m$ l'ordine del campo.
La domanda è "quanti elementi ha questo spazio proiettivo?"
Ovvero, quanti sottospazi $1$-dimensionali contiene un generico spazio vettoriale $n$-dimensionale su un campo finito?
Il discorso più generale potrebbe essere riproposto con "esiste qualche relazione (non banale) tra la cardinalità dell'insieme di partenza e la cardinalità dell'insieme quoziente?"
Se parti da un insieme qualsiasi e lo quozienti non puoi avere uno spazio vettoriale come risultato.
Però quozientando uno spazio vettoriale $n+1$ dimensionale (privato del vettore nullo) con la relazione di equivalenza definita da $x\rho y$ se e solo e $x=\alpha y$ con $\alpha$ appartenente $K$ quello che ottieni è una delle definizioni di spazio proiettivo.
Considerando tutte le dimensioni finite quello che ottieni è finito.
Per di più la classe di equivalenza di un qualsiasi elemento (stiamo escludendo il vettore nullo) contiene $\phi (p^m)$ elementi, con $\phi$ la funzione di Eulero e $p^m$ l'ordine del campo.
La domanda è "quanti elementi ha questo spazio proiettivo?"
Ovvero, quanti sottospazi $1$-dimensionali contiene un generico spazio vettoriale $n$-dimensionale su un campo finito?
Il discorso più generale potrebbe essere riproposto con "esiste qualche relazione (non banale) tra la cardinalità dell'insieme di partenza e la cardinalità dell'insieme quoziente?"
"dadexix86":
$|[x]|=\phi(q)=p^{m-1}(p-1)$
Perché non $|[x]|=q-1$ ? Ogni vettore ha $q-1$ multipli non nulli.
No, ogni vettore ne ha $\phi(q)$, in quanto la caratteristica del campo è $p$, quindi qualsiasi "coefficiente" $\alpha$ che non sia coprimo con $q$ che moltiplica qualsiasi vettore $\mathbf{x}$ rende $\alpha\mathbf{x}=0$.
Un campo di cardinalità $p^m$ ha un solo $0$, ed essendo un campo tutti gli altri elementi sono distinti da 0. Quindi sono d'accordo con Martino sul fatto che sia $q-1$. Prova a pensare il campo come un'algebra (o uno spazio vettoriale) su $ZZ_p$ e vedi che avrà più senso...
Però la caratteristica di un campo è il minimo $n$ per cui si ha che $n*1=0$ e può essere $p$ o $0$ a seconda che il campo minimo sia $\mathbb{Z}_p$ o $\mathbb{Q}$. (O è una definizione sbagliata?)
EDIT: Questo tra l'altro implica che sia così per ogni $x$ nel campo: $p*x=p*(1+1+\ldots+1)=p*1+p*1+\ldots p*1=0+0+\ldots +0 =0$.
EDIT: Questo tra l'altro implica che sia così per ogni $x$ nel campo: $p*x=p*(1+1+\ldots+1)=p*1+p*1+\ldots p*1=0+0+\ldots +0 =0$.
"dadexix86":
No, ogni vettore ne ha $\phi(q)$, in quanto la caratteristica del campo è $p$, quindi qualsiasi "coefficiente" $\alpha$ che non sia coprimo con $q$ che moltiplica qualsiasi vettore $\mathbf{x}$ rende $\alpha\mathbf{x}=0$.
No, attento, stai confondendo $F_q$ con $ZZ//qZZ$.
$ZZ//qZZ$ non è un campo in generale (lo è se e solo se $q$ è primo).
@ Martino: la spiegazione di quel fatto l'ho data sotto, nel post appena precedente al tuo, è una definizione sbagliata di caratteristica? Se sì, qual è quella corretta? 
"dadexix86":Questa definizione è giusta.
Però la caratteristica di un campo è il minimo $n$ per cui si ha che $n*1=0$ e può essere $p$ o $0$ a seconda che il campo minimo sia $\mathbb{Z}_p$ o $\mathbb{Q}$.
EDIT: Questo tra l'altro implica che sia così per ogni $x$ nel campo: $p*x=p*(1+1+\ldots+1)=p*1+p*1+\ldots p*1=0+0+\ldots +0 =0$.Sono d'accordo che $px=0$ per ogni $x$ nel campo, ma non vedo come questo c'entri col resto.
Insisto che secondo me stai confondendo $F_q$ con $ZZ//qZZ$, infatti tratti $p$ come se fosse un elemento non nullo.
Prova ad esaminare per esempio $F_4^2$ su $F_4$. Ti accorgerai che i multipli non nulli di un vettore non nullo sono $3=4-1$, non $2=\varphi(4)$.
Ne sei sicuro?
Prendiamo il vettore $x=(x_1, x_2)\in F_4^2$ e moltiplichiamolo per $2$: $2*x=2*(x_1, x_2)=(2*x_1,2*x_2)$, dove $x_1$ e $x_2$ stanno in $F_4$, che ha caratteristica $2$, e quindi sono nulli (in $F_4$): $2*x=2*(x_1, x_2)=(2*x_1,2*x_2)=(0,0)$.
Quindi io ottengo due volte il vettore nullo, moltiplicando sia per $2$ che per $0$. O dov'è l'errore?
Prendiamo il vettore $x=(x_1, x_2)\in F_4^2$ e moltiplichiamolo per $2$: $2*x=2*(x_1, x_2)=(2*x_1,2*x_2)$, dove $x_1$ e $x_2$ stanno in $F_4$, che ha caratteristica $2$, e quindi sono nulli (in $F_4$): $2*x=2*(x_1, x_2)=(2*x_1,2*x_2)=(0,0)$.
Quindi io ottengo due volte il vettore nullo, moltiplicando sia per $2$ che per $0$. O dov'è l'errore?
Ti prego, prova a riflettere un po' di più. Non voglio apparire saccente, ma davvero secondo me non leggi con attenzione quello che ti dico.
Quello che sostengo è che un vettore di $F_4^2$ su $F_4$ ha $3$ multipli non nulli.
Tu mi stai dicendo che ogni vettore $x$ di $F_4^2$ verifica $2x=0$. Come questo dovrebbe convincermi che qualcosa che ho detto non è vera?
Quando tu dici $p*x=0$ stai dicendo $0*x=0$. Ok, e con questo?
"dadexix86":Sono assolutamente d'accordo con questo.
Ne sei sicuro?
Prendiamo il vettore $x=(x_1, x_2)\in F_4^2$ e moltiplichiamolo per $2$: $2*x=2*(x_1, x_2)=(2*x_1,2*x_2)$, dove $x_1$ e $x_2$ stanno in $F_4$, che ha caratteristica $2$, e quindi sono nulli (in $F_4$): $2*x=2*(x_1, x_2)=(2*x_1,2*x_2)=(0,0)$.
Quello che sostengo è che un vettore di $F_4^2$ su $F_4$ ha $3$ multipli non nulli.
Tu mi stai dicendo che ogni vettore $x$ di $F_4^2$ verifica $2x=0$. Come questo dovrebbe convincermi che qualcosa che ho detto non è vera?
moltiplicando sia per $2$ che per $0$.Ma guarda che in $F_4$ l'elemento $2$ e l'elemento $0$ sono lo stesso elemento.
Quando tu dici $p*x=0$ stai dicendo $0*x=0$. Ok, e con questo?
"Martino":
Ti prego, prova a riflettere un po' di più. Non voglio apparire saccente, ma davvero secondo me non leggi con attenzione quello che ti dico.
Quello che sostengo è che un vettore di $F_4^2$ su $F_4$ ha $3$ multipli non nulli.
Perdonami se non sono molto chiaro, non lo faccio né apposta né tantomeno per cattiveria, solo non mi riesce di capire.
Quali sono questi 3 vettori non nulli? Io ne vedo solo 2, quelli ovvero che ottengo da un qualsiasi vettore $x$ moltiplicandolo per $1$ o per $3$, non riesco a capire quale possa essere il terzo.
Tu mi stai dicendo che ogni vettore $x$ di $F_4^2$ verifica $2x=0$. Come questo dovrebbe convincermi che qualcosa che ho detto non è vera?
Non dovrebbe certo convincerti, non penso di essere in grado né di convincere né altro, vorrei solo capire.
Ma guarda che in $F_4$ l'elemento $2$ e l'elemento $0$ sono lo stesso elemento.
Quando tu dici $p*x=0$ stai dicendo $0*x=0$. Ok, e con questo?
Con questo, semplicemente, vorrei sapere quanti vettori non nulli appartengono alla classe di un vettore $x$. Il fatto che $p*x=0$ equivalga a dire $0*x=0$, mi sembra avvalga semplicemente la mia tesi che ogni vettore abbia $\phi(x)$ vettori indipendenti, in quanto ogni elemento che sia divisibile per $p$ mi "restituisce" il vettore nullo, e i numeri non divisibili per $p$ più piccoli di $q$ sono $\phi(q)=\phi(p^m)$.
O, ancora, dove sto sbagliando? =(
PS: Grazie per la pazienza...
Scusa prima potevo reagire meglio, mi dispiace.
Ora proverò ad essere più esplicito:
$F_4$ è un campo di caratteristica $2$, quindi in $F_4$ hai $2=0$ e quindi (aggiungendo $1$ ai due membri) hai $1=3$. Il simbolo $2$ identifica l'elemento $0$, come il simbolo $3$ identifica l'elemento $1$. Gli elementi di $F_4$ non si ottengono sommando un tot di uni. L'immagine dell'omomorfismo $ZZ to F_4$ ha due elementi, non quattro, questi due elementi sono $0$ e $1$.
Io dall'inizio ti ripeto che secondo me stai pensando a $F_4$ come all'insieme ${0,1,2,3}$ con determinate operazioni, dove $2=1+1$, $3=1+1+1$. Ebbene questo è concettualmente sbagliato, perché come ti ripeto si ha $2=0$ e $3=1$, quindi ${0,1,2,3}={0,1}$ è un insieme di due elementi, non di quattro.
$F_4 = F_2[X]//(x^2+x+1)$
Il membro di destra è un campo perché è il quoziente di un anello commutativo con un suo ideale massimale (ricorda che se $f(x) in k[X]$ è irriducibile allora l'ideale generato da $f(x)$ è massimale in $k[X]$).
In altre parole $F_4$ è $F_2$ a cui aggiungi un elemento $alpha$ che verifica $alpha^2=alpha+1$ (cioè una radice di $x^2+x+1$). In altre parole prendi una radice $alpha$ di $x^2+x+1 in F_2[X]$ e definisci $F_4=F_2[alpha]$. Ok? Se questo non ti è chiaro ti consiglierei di riguardare la teoria di base dei campi finiti e delle estensioni semplici.
Ne segue che gli elementi di $F_4$ sono $0,1,alpha,alpha+1$, e i prodotti tra questi elementi si ottengono sfruttando la relazione $alpha^2=alpha+1$. Per esempio $(alpha+1)alpha = alpha^2+alpha=alpha+1+alpha=1$.
Quindi dato un vettore $v ne 0$ di $F_4^n$, i tre multipli non nulli di $v$ sono:
$v$
$alpha v$
$(alpha+1)v$
Osserva che $F_4$ come gruppo additivo è isomorfo a $C_2 xx C_2$, non a $C_4$.
Ora proverò ad essere più esplicito:
Quali sono questi 3 vettori non nulli? Io ne vedo solo 2, quelli ovvero che ottengo da un qualsiasi vettore $x$ moltiplicandolo per $1$ o per $3$, non riesco a capire quale possa essere il terzo.Tu dici che moltiplicando un vettore per $1$ o per $3$ ottieni due vettori, ma questo non è vero, ne ottieni uno solo, dato che in $F_4$ hai $1=3$.
$F_4$ è un campo di caratteristica $2$, quindi in $F_4$ hai $2=0$ e quindi (aggiungendo $1$ ai due membri) hai $1=3$. Il simbolo $2$ identifica l'elemento $0$, come il simbolo $3$ identifica l'elemento $1$. Gli elementi di $F_4$ non si ottengono sommando un tot di uni. L'immagine dell'omomorfismo $ZZ to F_4$ ha due elementi, non quattro, questi due elementi sono $0$ e $1$.
Io dall'inizio ti ripeto che secondo me stai pensando a $F_4$ come all'insieme ${0,1,2,3}$ con determinate operazioni, dove $2=1+1$, $3=1+1+1$. Ebbene questo è concettualmente sbagliato, perché come ti ripeto si ha $2=0$ e $3=1$, quindi ${0,1,2,3}={0,1}$ è un insieme di due elementi, non di quattro.
Quali sono questi 3 vettori non nulli?In realtà $F_4$ si costruisce così: considera il polinomio $x^2+x+1 in F_2[X]$ (osserva che è l'unico polinomio irriducibile di grado $2$ di $F_2[X]$), e definisci
$F_4 = F_2[X]//(x^2+x+1)$
Il membro di destra è un campo perché è il quoziente di un anello commutativo con un suo ideale massimale (ricorda che se $f(x) in k[X]$ è irriducibile allora l'ideale generato da $f(x)$ è massimale in $k[X]$).
In altre parole $F_4$ è $F_2$ a cui aggiungi un elemento $alpha$ che verifica $alpha^2=alpha+1$ (cioè una radice di $x^2+x+1$). In altre parole prendi una radice $alpha$ di $x^2+x+1 in F_2[X]$ e definisci $F_4=F_2[alpha]$. Ok? Se questo non ti è chiaro ti consiglierei di riguardare la teoria di base dei campi finiti e delle estensioni semplici.
Ne segue che gli elementi di $F_4$ sono $0,1,alpha,alpha+1$, e i prodotti tra questi elementi si ottengono sfruttando la relazione $alpha^2=alpha+1$. Per esempio $(alpha+1)alpha = alpha^2+alpha=alpha+1+alpha=1$.
Quindi dato un vettore $v ne 0$ di $F_4^n$, i tre multipli non nulli di $v$ sono:
$v$
$alpha v$
$(alpha+1)v$
Osserva che $F_4$ come gruppo additivo è isomorfo a $C_2 xx C_2$, non a $C_4$.
Ora sì che è tutto chiaro 
Purtroppo non sono molto sveglio, vero?=P
grazie mille per la pazienza e, soprattutto, l'aiuto!
Purtroppo non sono molto sveglio, vero?=P
grazie mille per la pazienza e, soprattutto, l'aiuto!
Prego, ciao alla prossima 
"Martino":
Osserva che $F_4$ come gruppo additivo è isomorfo a $C_2 xx C_2$, non a $C_4$.
Questo vale in generale per qualsiasi $F_{p^n}$ come gruppo additivo. La caratteristica del campo è infatti la cardinalità dell'elemento massimale del gruppo (ed essendo un numero primo di tutti gli elementi del gruppo). Un gruppo abeliano che ha come elemento massimale un elemento di cardinalità $p$, con $p$ primo, deve essere per forza un $p$-gruppo nella forma $C_p xx C_p xx ... xx C_p$ (è evidente per il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti).
Inoltre poteva essere dedotto dal fatto che ogni campo di caratteristica $p$ è un algebra di dimensione $n$ su $F_p$ (e quindi il suo gruppo additivo deve avere quella forma).
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