Problema di algebra

[Jazz_lover]

dato l'anello R={ A= matrice 3 per 3 a,b,0,0,c,0,o,o,a : a,b,c reali}

vorrei sapere perchè i divisori dello zero sono matrici della forma a,b,0,0,0,0,0,0,a

scusate se non sono riuscito a fare le matrici

[luluemicia]

Ciao, Sia A la matrice che ha per prima e seconda riga 0;1;0 e la terza riga nulla. Sia B quella che ha per prima riga 1;-1;0, la seconda riga nulla e la terza 0;0;1. Mi pare che i loro prodotti danno la matrice nulla, quindi A è un divisore dello 0 e non è del tipo indicato.

[Jazz_lover]

"luluemicia":Ciao, Sia A la matrice che ha per prima e seconda riga 0;1;0 e la terza riga nulla. Sia B quella che ha per prima riga 1;-1;0, la seconda riga nulla e la terza 0;0;1. Mi pare che i loro prodotti danno la matrice nulla, quindi A è un divisore dello 0 e non è del tipo indicato.

forse non ho scritto bene la matrice scusami!

a,b,0 per prima riga 0,c,0 come seconda e 0,0,a come terza

i divisori di zero sono le matrici che hanno a,b,0 come prima riga o,o,o come seconda e 0,0,a come terza

ho provato a vedere se il prodotto tra le due mi da una matrice nulla...ma purtroppo no, e non capisco perchè

[luluemicia]

Ciao, a me il prodotto dei divisori dello 0 che hai dato tu non mi da la matrice nulla necessariamente; il prodotto delle 2 che ho scritto io mi da la matrice nulla.

[Jazz_lover]

"luluemicia":Ciao, a me il prodotto dei divisori dello 0 che hai dato tu non mi da la matrice nulla necessariamente; il prodotto delle 2 che ho scritto io mi da la matrice nulla.

ma quindi la matrice che ho scritto io non è necessariamente un divisore dello zero?....eppure era nella soluzione!

[Sk_Anonymous]

Nel tuo anello tutte le matrici hanno determinante $a^2 *c$.
I divisori di zero devono avere determinante nullo (altrimenti sono invertibili e non divisori di zero) quindi o $a=0$ oppure $c=0$
Quindi i divisori di zero possono essere delle matrici del tipo

a b 0
0 0 0 $M_1$
0 0 a

oppure

0 b 0
0 c 0 $M_2$
0 0 0

eseguendo le moltiplicazioni incrociate si ottiene in entrambi i casi che moltiplicati per la matrice dell'anello avente $ a=c=0$ danno la matrice nulla. In particolare detta

0 b 0
0 0 0 $M_3$
0 0 0

si ha $ M_3 * M_1 =0$ e $ M_2 * M_3 =0$

Credo che possa andare bene. Anch'io ho qualche problema con la scrittura delle matrici...

[Jazz_lover]

quindi le matrici che ho messo io sono divisori di zero se e solo se a=c=0? e in quel caso il prodotto sarebbe la matrice nulla?

[Sk_Anonymous]

quindi le matrici che ho messo io sono divisori di zero se e solo se a=c=0? e in quel caso il prodotto sarebbe la matrice nulla?

Non esattamente, basta che almeno uno dei due sia 0, non senve che lo siano contemporaneamente