Problema dell'Herstein
Sia $G$ un gruppo di ordine $30$ .
a) Dimostrare che un $3-Sylow$ o un $5-Sylow$ é normale in $G$:
b) A partire da (a) dimostrare che un $3-Sylow$ e un $5-Sylow$ sono normali in $G$.
c) Dimostrare che $G$ ha un sottogruppo di ordine $15$.
d) Usare (c) per classificare tutti i gruppi di ordine $30$.
e) Quanti sono i gruppi non isomorfi di ordine $30$?
Inizio con l'osservare che $30=5xx3xx2$;
Avremo per $Sylow$ le seguenti possibilità di avere esattamente un numero $s_2$ di $2-Sylow$ distinti:
$s_2=1+2k=1$
$s_2=1+2k=3$
$s_2=1+2k=5$
$s_2=1+2k=15$.
Le seguenti possibilità di avere esattamente un numero $s_3$ di $3-Sylow$ distinti:
$s_3=1+3k=1$
$s_3=1+3k=10$.
Le seguenti possibilità di avere un numero $s_5$ di $5-Sylow$ distinti:
$s_5=1+5k=1$
$s_5=1+5k=6$.
Analizzando qui di seguito le combinazioni dei vari casi possibili, osserviamo che:
la combinazione $s_3=10$, ed $s_5=6$, risulta impossibilitata nel verificarsi, in quanto:
oltre l'elemento neutro $s_3=10$ implica che nel gruppo vi sono $20$ elementi distinti ed $s_5=6$ implica che nel gruppo vi sono altri $24$ elementi distinti,trattandosi di sottogruppi ciclici di ordine primo, quindi con intersezione l'elemento neutro, possiamo concludere che in toto avremo $1+20+24=45$ elementi distinti, ma $45>30$, cioé maggiore della cardinalità del nostro gruppo, quindi impossibile. Questa informazione mi dice che deve almeno sussistere una delle segueni relazioni $1+3k=1$ o $1+5k=1$, cioè
che almeno uno dei due sottogruppi é unico, e conseguentemente normale in $G$. Il punto (a) é soddisfatto.
Supponiamo che siano $H$ e $K$ rispettivamente un $3-Sylow$ ed un $5-Sylow$, in $G$, per il punto (a) almeno un risulta unico e quindi normale in $G$, pertanto $N=HK$ il cui ordine é $15=5xx3$ risulta essere un sottogruppo in $G$.
Il sottogruppo sopracitato $N$ risulterà essere anch'esso unico in $G$, infatti supponendo che esista in $G$ un altro sottogruppo
dello stesso ordine in $G$ vi sarebbero:
$(15xx15)/5=45$ elementi distinti se l'intersezione tra tali sottogruppi è un $5-Sylow$,
$(15xx15)/3=75$ elementi distinti se l'intersezione tra tali sottogruppi è un $3-Sylow$.
In ambedue i casi suddetti gli elementi distinti risultano maggiori della cardinalità di $G$, pertanto concludo che $N=HK$ deve essere necessariamente unico in $G$, e quindi normale.
Ma risultanto per $Sylow$ essere un gruppo di ordine $15$ necessariamente ciclico a meno di isomorfismi, risulterà essere $N=HxxK$ cioè il prodotto cartesiano, pertanto $H$ e $K$ sottogruppi di primi distinti,unici e quindi anch'essi normali in $G$.
Ed i punti (b), e (c) risulterebbero così soddisfatti.
Adesso essendo che sempre per $Sylow$ esiste almeno un $2-Sylow$che indichiamo con $R$, se esattamente uno cioè vale la relazione $s_2=1+2k=1$, allora questo risulterà essendo unico normale in $G$, in questo caso il gruppo $G$ risulterebbe il prodotto cartesiano di $HxxKxxR$,cioè avremmo il gruppo $G=C_30$.
Se invece abbiamo esattamente tre $2-Sylow$ quindi tre elementi di ordine $2$ in $G$, cioè vale la relazione $s_2=1+2k=3$,
indicando con $a$ uno qualsiasi di questi elementi esso chiaramente non apparterrà ad $N=HxxK$, prendiamo il $3-Sylow$, $H=$ allora consideriamo gli elementi distinti $,ah,ah^2,$, se si ha $(ah)(ah)=e$ questo risulta vero se e solo se $ah=h^(-1)a$,
ma ciò implica anche $(ah^2)(ah^2)=e$ infatti$(ahh)(ahh)=a(hha)(hh)=(aa)(h^(-1)h^(-1))(hh)=e$, in definitiva quello che si vuole fare notare è che nel momento in cui l'elemento $ah$ ha ordine $2$, anche l'elemento $ah^2$ risulta essere di ordine $2$, per $Sylow$ non ne possono esistere altri, pertanto avremo il sottogruppo $D_6$ che consta degli elementi $e,h,h^2,a,ah,ah^2$ che risulterà essere chiaramente normale in $G$, qundi in questo caso risulta $G=D_6xxK$, in quanto $K$ e$D_6$ normali in $G$ con intersezione l'elemento neutro, in definitiva $G=D_6xxC_5$.
Con un ragionamento del tutto analogo possiamo procedere nel caso in cui abbiamo esattamente cinque $2-Sylow$ quindi cinque elementi di ordine $2$ in $G$,, cioé vale la relazione $s_2=1+2k=5$, indicando sempre con $a$ uno qualsiasi di questi elementi,
prendiamo il $5-Sylow$ $K=$, allora consideriamo gli elementi distinti $ak,ak^2,ak^3,ak^4$, se si ha $(ak)(ak)=e$, questo implica procedendo con un ragionamento analogo al precedente, che $(akk)(akk)=e$, $(akkk)(akkk)=e$, $(akkkk)(akkkk)=e$, cioè anche gli altri elementi del tipo $ak^i$ hanno ordine $2$, per $Sylow$ non ne possono esistere altri , pertanto avremo il sottogruppo
$D_10$ che consta degli elementi $e,k,k^2,k^3,k^4,a,ak,ak^2,ak^3,ak^4$, che risulterà essere normale in $G$, quindi in questo
caso $G=D_10xxH$, in quanto $D_10$ e $H$; normali in$G$, con intersezione l'elemento neutro, in definitiva $G=D_10xxC_3$.
Analogamente come in precedenza nel caso in cui abbiamo quindici $2-Sylow$, quindi quindici elementi di ordine $2$, cioè vale la
relazione $1+2k=15$, prendiamo $N=HxxK=$(l'importante è che prenda un generatore) e indicando sempre con $a$ uno qualsiasi di questi elementi di ordine $2$, se $as$ ha ordine $2$ anche gli altri elementi distinti del tipo $as^i$, risulteranno avere ordine $2$,ed avremo il gruppo $G=D_30$.
a) Dimostrare che un $3-Sylow$ o un $5-Sylow$ é normale in $G$:
b) A partire da (a) dimostrare che un $3-Sylow$ e un $5-Sylow$ sono normali in $G$.
c) Dimostrare che $G$ ha un sottogruppo di ordine $15$.
d) Usare (c) per classificare tutti i gruppi di ordine $30$.
e) Quanti sono i gruppi non isomorfi di ordine $30$?
Inizio con l'osservare che $30=5xx3xx2$;
Avremo per $Sylow$ le seguenti possibilità di avere esattamente un numero $s_2$ di $2-Sylow$ distinti:
$s_2=1+2k=1$
$s_2=1+2k=3$
$s_2=1+2k=5$
$s_2=1+2k=15$.
Le seguenti possibilità di avere esattamente un numero $s_3$ di $3-Sylow$ distinti:
$s_3=1+3k=1$
$s_3=1+3k=10$.
Le seguenti possibilità di avere un numero $s_5$ di $5-Sylow$ distinti:
$s_5=1+5k=1$
$s_5=1+5k=6$.
Analizzando qui di seguito le combinazioni dei vari casi possibili, osserviamo che:
la combinazione $s_3=10$, ed $s_5=6$, risulta impossibilitata nel verificarsi, in quanto:
oltre l'elemento neutro $s_3=10$ implica che nel gruppo vi sono $20$ elementi distinti ed $s_5=6$ implica che nel gruppo vi sono altri $24$ elementi distinti,trattandosi di sottogruppi ciclici di ordine primo, quindi con intersezione l'elemento neutro, possiamo concludere che in toto avremo $1+20+24=45$ elementi distinti, ma $45>30$, cioé maggiore della cardinalità del nostro gruppo, quindi impossibile. Questa informazione mi dice che deve almeno sussistere una delle segueni relazioni $1+3k=1$ o $1+5k=1$, cioè
che almeno uno dei due sottogruppi é unico, e conseguentemente normale in $G$. Il punto (a) é soddisfatto.
Supponiamo che siano $H$ e $K$ rispettivamente un $3-Sylow$ ed un $5-Sylow$, in $G$, per il punto (a) almeno un risulta unico e quindi normale in $G$, pertanto $N=HK$ il cui ordine é $15=5xx3$ risulta essere un sottogruppo in $G$.
Il sottogruppo sopracitato $N$ risulterà essere anch'esso unico in $G$, infatti supponendo che esista in $G$ un altro sottogruppo
dello stesso ordine in $G$ vi sarebbero:
$(15xx15)/5=45$ elementi distinti se l'intersezione tra tali sottogruppi è un $5-Sylow$,
$(15xx15)/3=75$ elementi distinti se l'intersezione tra tali sottogruppi è un $3-Sylow$.
In ambedue i casi suddetti gli elementi distinti risultano maggiori della cardinalità di $G$, pertanto concludo che $N=HK$ deve essere necessariamente unico in $G$, e quindi normale.
Ma risultanto per $Sylow$ essere un gruppo di ordine $15$ necessariamente ciclico a meno di isomorfismi, risulterà essere $N=HxxK$ cioè il prodotto cartesiano, pertanto $H$ e $K$ sottogruppi di primi distinti,unici e quindi anch'essi normali in $G$.
Ed i punti (b), e (c) risulterebbero così soddisfatti.
Adesso essendo che sempre per $Sylow$ esiste almeno un $2-Sylow$che indichiamo con $R$, se esattamente uno cioè vale la relazione $s_2=1+2k=1$, allora questo risulterà essendo unico normale in $G$, in questo caso il gruppo $G$ risulterebbe il prodotto cartesiano di $HxxKxxR$,cioè avremmo il gruppo $G=C_30$.
Se invece abbiamo esattamente tre $2-Sylow$ quindi tre elementi di ordine $2$ in $G$, cioè vale la relazione $s_2=1+2k=3$,
indicando con $a$ uno qualsiasi di questi elementi esso chiaramente non apparterrà ad $N=HxxK$, prendiamo il $3-Sylow$, $H=
ma ciò implica anche $(ah^2)(ah^2)=e$ infatti$(ahh)(ahh)=a(hha)(hh)=(aa)(h^(-1)h^(-1))(hh)=e$, in definitiva quello che si vuole fare notare è che nel momento in cui l'elemento $ah$ ha ordine $2$, anche l'elemento $ah^2$ risulta essere di ordine $2$, per $Sylow$ non ne possono esistere altri, pertanto avremo il sottogruppo $D_6$ che consta degli elementi $e,h,h^2,a,ah,ah^2$ che risulterà essere chiaramente normale in $G$, qundi in questo caso risulta $G=D_6xxK$, in quanto $K$ e$D_6$ normali in $G$ con intersezione l'elemento neutro, in definitiva $G=D_6xxC_5$.
Con un ragionamento del tutto analogo possiamo procedere nel caso in cui abbiamo esattamente cinque $2-Sylow$ quindi cinque elementi di ordine $2$ in $G$,, cioé vale la relazione $s_2=1+2k=5$, indicando sempre con $a$ uno qualsiasi di questi elementi,
prendiamo il $5-Sylow$ $K=
$D_10$ che consta degli elementi $e,k,k^2,k^3,k^4,a,ak,ak^2,ak^3,ak^4$, che risulterà essere normale in $G$, quindi in questo
caso $G=D_10xxH$, in quanto $D_10$ e $H$; normali in$G$, con intersezione l'elemento neutro, in definitiva $G=D_10xxC_3$.
Analogamente come in precedenza nel caso in cui abbiamo quindici $2-Sylow$, quindi quindici elementi di ordine $2$, cioè vale la
relazione $1+2k=15$, prendiamo $N=HxxK=
Risposte
Riassumendo:
Se $1+2k=1$ si avrà il gruppo $C_30$
Se $1+2k=3$ si avrà il gruppo $D_6xxC_5$
Se $1+2k=5$ si avrà il gruppo $D_10xxC_3$
Se $1+2k=15$ si avrà il gruppo $D_30$
In definitiva avremo $4$ gruppi non isomorfi, uno ciclico $C_30$ , e $3$ gruppi non abeliani.
Non so proprio se abbia scritto delle cose esatte, magari ho fatto confusione , e sicuramente esiste un procedimento molto più
breve per arrivare al risultato, comunque ho usato solo i teoremi di Sylow come richiesto, spero in un intervento al fine di poter individuare i possibili errori. Grazie,e resto in attesa!
Se $1+2k=1$ si avrà il gruppo $C_30$
Se $1+2k=3$ si avrà il gruppo $D_6xxC_5$
Se $1+2k=5$ si avrà il gruppo $D_10xxC_3$
Se $1+2k=15$ si avrà il gruppo $D_30$
In definitiva avremo $4$ gruppi non isomorfi, uno ciclico $C_30$ , e $3$ gruppi non abeliani.
Non so proprio se abbia scritto delle cose esatte, magari ho fatto confusione , e sicuramente esiste un procedimento molto più
breve per arrivare al risultato, comunque ho usato solo i teoremi di Sylow come richiesto, spero in un intervento al fine di poter individuare i possibili errori. Grazie,e resto in attesa!
Le tue conclusioni sono corrette. Tuttavia non capisco bene una cosa: ogni volta prendi un elemento [tex]h[/tex] (di ordine 3, 5 oppure 15) e dici "se [tex]ah[/tex] ha ordine [tex]2[/tex] allora...". Però non discuti il caso in cui [tex]ah[/tex] non ha ordine [tex]2[/tex].
Un metodo più diretto, dopo aver osservato che esiste un sottogruppo [tex]A[/tex] di ordine 15 come hai fatto, è prendere un sottogruppo [tex]B[/tex] di ordine [tex]2[/tex] e osservare che [tex]G = AB[/tex] e [tex]A \cap B = \{1\}[/tex], cosicché [tex]G[/tex] è isomorfo a un prodotto semidiretto [tex]A \rtimes B[/tex]. Tale prodotto semidiretto è determinato dall'omomorfismo [tex]C_2 \cong B \to \text{Aut}(A) = \text{Aut}(C_{15}) \cong C_4 \times C_2[/tex], e siamo quindi ridotti ad un semplice conteggio di omomorfismi (vedi qui, in particolare questo).
Un metodo più diretto, dopo aver osservato che esiste un sottogruppo [tex]A[/tex] di ordine 15 come hai fatto, è prendere un sottogruppo [tex]B[/tex] di ordine [tex]2[/tex] e osservare che [tex]G = AB[/tex] e [tex]A \cap B = \{1\}[/tex], cosicché [tex]G[/tex] è isomorfo a un prodotto semidiretto [tex]A \rtimes B[/tex]. Tale prodotto semidiretto è determinato dall'omomorfismo [tex]C_2 \cong B \to \text{Aut}(A) = \text{Aut}(C_{15}) \cong C_4 \times C_2[/tex], e siamo quindi ridotti ad un semplice conteggio di omomorfismi (vedi qui, in particolare questo).
Grazie intanto per avermi risposto!Forse sono stato poco chiaro nell'esposizione, provo ad esporre il tutto in modo più coinciso.
Avendo indicato con $N$ il sottogruppo di ordine $15$, che dovendo essere ciclico avrà dei generatori, sia $s$ uno dei generatori,
quindi $N=$, ed indico con $a$ un elemento di ordine $!in N$ di ordine $2$, la cui esistenza è assicurata da Sylow.
Considero tutti gli elementi $!in N$ che risulteranno distinti e della forma $as^i$ con $1<=i<=15$.
Se sussiste la relazione $s_2=1+2k=1$, allora l'unico elemento che avrà ordine $2$ é $a$, gli altri elementi per Sylow dovranno avere ordine diverso da $2$.
Se invece sussiste la relazione $s_2=1+2k=3$, allora per Sylow devono esistere esattamente $3$ elementi di ordine $2$,
avrò allora un altro elemento diverso da $as^15=a$, che indichiamo genericamente con $as^i$ con $1<=i<=14$, e dovendo essere
di ordine $2$, si avrà $a(s^ia)s^i=e$ ma questo avviene se e solo se $s^ia=a(s^i)^-1$, cioé $(s^i)^-1=s^(15-i)$, ma questo
implica che $a(s^i)^ta(s^i)^t=e$ per ogni $t$ intero, diversamente avremo elementi che non hanno odine $2$.
Pertanto avremo un numero di elementi distinti di ordine $2$ uguale al periodo di $s^i$, cioè $s_2=o(s^i)$ e nel nostro caso si avrà necessariamente $o(s^i)=3$, quindi per $i=5$. Cioé $o(s^5)=3$.Oppure $i=10$ cioé $o(s^10)=3$ ecc.ecc.
Analogamente si procede se sussiste la relazione $s_2=1+2k=5$, in questo caso avremo $s_2=o(s^3)=5$. Oppure $o(s^6)=5$ ecc.ecc.
Analgamente si procede se sussiste la relazione $s_2=1+2k=15$, in questo caso avremo $s_2=o(s)=15$. Oppure $s_2=o(s^2)$, ecc.ecc.
Nel post precedente,ritornando all'osservazione , che non ho considerato il caso in cui $ah$ non sia di ordine $2$: ciò equivale a dire che nessuno degli elementi della forma $ah,ah^2$ era di ordine $2$ , allora per $Sylow$, essendo che sussiste la relazione $s_2=1+2k=3$ ci dovranno essere esattamente altri $2$ elementi di ordine $2$ che saranno necessariamente di altra forma. Se uno di questi risulterebbe essere della forma $ak^i$ con $1<=i<=4$ allora in conseguenza avrei $5$ elementi di ordine $2$, ma questo sarebbe impossibile perché contraddice la relazione $s_2=1+2k=3$, se fosse della forma $as^i$ con $(i,15)=1$, allora in conseguenza avrei $15$ elementi di ordine $2$,ma questo è impossibile sempre perchè contraddice la relazione $s_2=1+2k=3$. Analogo ragionamento si può fare con il caso $s_2=1+2k=5$ ed il caso $s_2=1+2k=15$. Sperando di essere stato più chiaro, resto in attesa di una risposta!
Avendo indicato con $N$ il sottogruppo di ordine $15$, che dovendo essere ciclico avrà dei generatori, sia $s$ uno dei generatori,
quindi $N=
Considero tutti gli elementi $!in N$ che risulteranno distinti e della forma $as^i$ con $1<=i<=15$.
Se sussiste la relazione $s_2=1+2k=1$, allora l'unico elemento che avrà ordine $2$ é $a$, gli altri elementi per Sylow dovranno avere ordine diverso da $2$.
Se invece sussiste la relazione $s_2=1+2k=3$, allora per Sylow devono esistere esattamente $3$ elementi di ordine $2$,
avrò allora un altro elemento diverso da $as^15=a$, che indichiamo genericamente con $as^i$ con $1<=i<=14$, e dovendo essere
di ordine $2$, si avrà $a(s^ia)s^i=e$ ma questo avviene se e solo se $s^ia=a(s^i)^-1$, cioé $(s^i)^-1=s^(15-i)$, ma questo
implica che $a(s^i)^ta(s^i)^t=e$ per ogni $t$ intero, diversamente avremo elementi che non hanno odine $2$.
Pertanto avremo un numero di elementi distinti di ordine $2$ uguale al periodo di $s^i$, cioè $s_2=o(s^i)$ e nel nostro caso si avrà necessariamente $o(s^i)=3$, quindi per $i=5$. Cioé $o(s^5)=3$.Oppure $i=10$ cioé $o(s^10)=3$ ecc.ecc.
Analogamente si procede se sussiste la relazione $s_2=1+2k=5$, in questo caso avremo $s_2=o(s^3)=5$. Oppure $o(s^6)=5$ ecc.ecc.
Analgamente si procede se sussiste la relazione $s_2=1+2k=15$, in questo caso avremo $s_2=o(s)=15$. Oppure $s_2=o(s^2)$, ecc.ecc.
Nel post precedente,ritornando all'osservazione , che non ho considerato il caso in cui $ah$ non sia di ordine $2$: ciò equivale a dire che nessuno degli elementi della forma $ah,ah^2$ era di ordine $2$ , allora per $Sylow$, essendo che sussiste la relazione $s_2=1+2k=3$ ci dovranno essere esattamente altri $2$ elementi di ordine $2$ che saranno necessariamente di altra forma. Se uno di questi risulterebbe essere della forma $ak^i$ con $1<=i<=4$ allora in conseguenza avrei $5$ elementi di ordine $2$, ma questo sarebbe impossibile perché contraddice la relazione $s_2=1+2k=3$, se fosse della forma $as^i$ con $(i,15)=1$, allora in conseguenza avrei $15$ elementi di ordine $2$,ma questo è impossibile sempre perchè contraddice la relazione $s_2=1+2k=3$. Analogo ragionamento si può fare con il caso $s_2=1+2k=5$ ed il caso $s_2=1+2k=15$. Sperando di essere stato più chiaro, resto in attesa di una risposta!
Resto in attesa di una risposta, in modo da poter individuare dove é il possibile errore nei ragionamenti che ho su esposto, grazie!
Sì, è convincente.
Però se posso permettermi è un ragionamento un po' complicato, io ti consiglio di provare a rifare il tutto usando il concetto di prodotto semidiretto (come nel rimando che ti ho segnalato). Il bello della teoria dei gruppi è che il più delle volte ce la caviamo con considerazioni qualitative!
Però se posso permettermi è un ragionamento un po' complicato, io ti consiglio di provare a rifare il tutto usando il concetto di prodotto semidiretto (come nel rimando che ti ho segnalato). Il bello della teoria dei gruppi è che il più delle volte ce la caviamo con considerazioni qualitative!
Intanto ti ringrazio per la risposta, le tue considerazioni mi stimolano a migliorare la qualità dei ragionamenti che espongo, ho già dato un occhiata alla definizione di prodotto semidiretto, e la trovo molto interessante!!
Il fatto è che mi sono sempre basato su definizioni e teoremi dei pochi testi che ho in possesso tra cui il principale è l'Herstein, pertanto ho sempre cercato di seguirne le linee guida, in questo capitolo dell'herstein che riguarda i teoremi di Sylow, non nascondo di avere trovato molta difficoltà nel tentativo di soluzione, almeno di quei pochi che ho tentato di risolvere, e non so onestamente se per carenza di comprensione da parte mia della teoria ,o per la difficoltà propria che questi esercizi posseggono. Ultimamente sono alle prese con uno di questi e non riesco proprio a venirne a capo, nonostante i vari tentativi.
Il fatto è che mi sono sempre basato su definizioni e teoremi dei pochi testi che ho in possesso tra cui il principale è l'Herstein, pertanto ho sempre cercato di seguirne le linee guida, in questo capitolo dell'herstein che riguarda i teoremi di Sylow, non nascondo di avere trovato molta difficoltà nel tentativo di soluzione, almeno di quei pochi che ho tentato di risolvere, e non so onestamente se per carenza di comprensione da parte mia della teoria ,o per la difficoltà propria che questi esercizi posseggono. Ultimamente sono alle prese con uno di questi e non riesco proprio a venirne a capo, nonostante i vari tentativi.
"francicko":Il fatto è che "sporcarsi le mani" con gli elementi come hai fatto in questo esercizio dell'ordine 30 può funzionare all'inizio, ma poi non basta più. Anche il prodotto semidiretto è insufficiente a descrivere determinati gruppi. Questo esercizio di cui parli, cosa dice?
Ultimamente sono alle prese con uno di questi e non riesco proprio a venirne a capo, nonostante i vari tentativi.
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