Problema dell'herstein

[francicko]

Se G è un gruppo nel quale $(ab)^i=a^ib^i$ per tre interi consecutivi e per ogni coppia di elementi $a,b,in G$ allora $G$ è $abeliano$.

Quindi per ipotesi abbiamo che per ogni $a,b,inG$ si hanno le seguenti relazioni:

$(ab)^i=a^ib^i$; dopodiché $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$; ed infine $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$;

So quindi per ipotesi che: $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$;

Per la proprietà associativa di cui è dotato $G$ essendo gruppo posso riscrivere la suddetta nel seguente modo:
$a(ba)^ib=a^(i+1)b^(i+1)$ e sfruttando la legge di cancellazione sia a destra che a sinistra presente nei gruppi ottengo la
seguente identità:
$(ba)^i=a^ib^i$; ma per ipotesi risulta: $(ab)^i=a^ib^i$ quindi $(ab)^i=(ba)^i$.

In modo analogo partendo dall'ipotesi che : $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$,
ottengo che: $(ab)^(i+1)=(ba)^(i+1)$;
Pertanto essendo che $(ab)^(i+1)=(ba)^(i+1)$ sempre per l'associatività posso scrivere che: $(ab)^i(ab)=(ba)^i(ba)$,
ma $(ab)^i=(ba)^i$ posso quindi concludere per la legge di cancellazione che:
$(ab)=(ba)$ per ogni $a,b,inG$, come volevasi dimostrare, quindi il nostro gruppo $G$ è $abeliano$.
Spero di non aver commesso errori di digitazione visto la numerosa presenza di esponenti, se qualcuno vuol controllare l'esattezza o meno dell'esposto, resto in attesa di risposta; Grazie!!

[mistake89]

"francicko":
So quindi per ipotesi che: $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$;

Per la proprietà associativa di cui è dotato $G$ essendo gruppo posso riscrivere la suddetta nel seguente modo:
$a(ba)^ib=a^(i+1)b^(i+1)$

Perchè vale quella relazione? Sarà indubbiamente giusta, ma non riesco a vedere i passaggi che hai fatto per ottenerla!

[francicko]

Rispondo a MIstake.

Scrivendo la forme in corsivo risulta evidente, ad esempio se $i=4$ risulta:

$a^(4+1)b^(4+1)=(ab)^(4+1)=(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)=a(babababa)b=a(ba)(ba)(ba)(ba)b=a(ba)^4b$.

[mistake89]

Giusto. Hai ragione. A me sembra tutto ben fatto!