Problema con gli elementi invertibili
Salve ragazzi, ho un problema con la comprensione degli elementi invertibili in un anello.
Esempio
Sia $Q_70 = {a/b | b=70^t, t in N}$
Devo determinare gli elementi ivertibili, se fossimo in $Z_70$ direi che sono gli elementi coprimi con $70$ che sono utilizzando Eulero $24$.
Ma in questo anello, un'eventuale inverso dovrebbe contenere sempre un multiplo di $70$ e non un numero coprimo con $70$.
Cioè se $a/b$ è un elemento invertibile di $Q_70$ e $a_1/b_1$ è il suo inverso allora $a/b ** a_1/b_1 = 1$ ma $b_1$ dovrebbe essere contemporaneamente multiplo di $70$ e coprimo con esso.
Dove sto sbagliando?
Grazie
Esempio
Sia $Q_70 = {a/b | b=70^t, t in N}$
Devo determinare gli elementi ivertibili, se fossimo in $Z_70$ direi che sono gli elementi coprimi con $70$ che sono utilizzando Eulero $24$.
Ma in questo anello, un'eventuale inverso dovrebbe contenere sempre un multiplo di $70$ e non un numero coprimo con $70$.
Cioè se $a/b$ è un elemento invertibile di $Q_70$ e $a_1/b_1$ è il suo inverso allora $a/b ** a_1/b_1 = 1$ ma $b_1$ dovrebbe essere contemporaneamente multiplo di $70$ e coprimo con esso.
Dove sto sbagliando?
Grazie
Risposte
Ok, sono convinto anche io che dovrei essere più formale. Se non ti creo troppo disturbo, potresti darmi una dimostrazione su qualche esempio che abbiamo postato. Magari capisco concretamente che strada seguire.
Grazie mille
Grazie mille
volentieri, però adesso non ho proprio tempo (sai, feste di capodanno 
)
ritornerò domani, mi dedicherò come si deve al problema.
)ritornerò domani, mi dedicherò come si deve al problema.
"blackbishop13":
volentieri, però adesso non ho proprio tempo (sai, feste di capodanno
ritornerò domani, mi dedicherò come si deve al problema.
Beh allora buon cenone, ci si scrive domani.
allora vediamo un po' questi esercizi:
questa ti pare una dimostrazione? tu invece di dimostrare la tesi, la assumi come vera, infatti scrivi "essendo [tex]$I = mA$[/tex]" e "poichè [tex]$I=mA$[/tex]" . ma allora cosa stai dimostrando se questo lo dai per buono? insomma non hai risposto per nulla.
come mi hai chiesto, scrivo una dimostrazione dell'altro esercizio:
verificare che gli ideali [tex]$15A, 21A, 30A, 42A$[/tex] coincidono in [tex]$A=Q_70$[/tex].
mostriamo più in generale che [tex]$\forall x \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } x \mid 70 \text{ si ha } 3xA = 3A$[/tex] (tutti questi ideali sono in tale forma)
dimostrare l'uguaglianza di due insiemi si fa per doppia inclusione:
Vediamo che [tex]$3xA \subseteq 3A$[/tex]: sia [tex]$b \in 3xA$[/tex] allora [tex]$b=3x \cdot \frac{a}{70^t}=3 \cdot \frac{x \cdot a}{70^t} \in 3A$[/tex]
Nota che questa inclusione è vera per ogni [tex]$x$[/tex], e non dipende neanche da [tex]$3$[/tex], è molto generale.
Ora dimostriamo [tex]$3A \subseteq 3xA$[/tex]: sia [tex]$b \in 3A$[/tex] allora [tex]$b=3 \cdot \frac{a}{70^t}$[/tex] ma allora [tex]$b= 3 \cdot a \cdot \frac{70}{70^{t+1}}$[/tex] e siccome [tex]$x \mid 70$[/tex] posso scrivere [tex]$70=x \cdot y$[/tex] e allora [tex]$b= 3 \cdot 70 \cdot \frac{a}{70^{t+1}} = 3 \cdot x \cdot \frac{a \cdot y}{70^{t+1}} \in 3xA$[/tex]
quindi ci si accorge che non dipende affatto dal [tex]$3$[/tex], sarebbe vera anche se al posto del [tex]$3$[/tex] ci fosse un qualunque altro numero intero.
"emanuele78":
sia $I$ un ideale non nullo di $A$ ed $m =min{n in N | n in I}$. Verificare che $I = mA$, cioè $m$ genera $I$
Ho così argomentato:
Se $m in I$ allora essendo $I = mA$ $m in mA$. Per la minimalità di $m$, $m$ è il più piccolo elemento di $mA$, quindi poichè $I = mA$ segue che $m$ genera $I$
questa ti pare una dimostrazione? tu invece di dimostrare la tesi, la assumi come vera, infatti scrivi "essendo [tex]$I = mA$[/tex]" e "poichè [tex]$I=mA$[/tex]" . ma allora cosa stai dimostrando se questo lo dai per buono? insomma non hai risposto per nulla.
come mi hai chiesto, scrivo una dimostrazione dell'altro esercizio:
verificare che gli ideali [tex]$15A, 21A, 30A, 42A$[/tex] coincidono in [tex]$A=Q_70$[/tex].
mostriamo più in generale che [tex]$\forall x \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } x \mid 70 \text{ si ha } 3xA = 3A$[/tex] (tutti questi ideali sono in tale forma)
dimostrare l'uguaglianza di due insiemi si fa per doppia inclusione:
Vediamo che [tex]$3xA \subseteq 3A$[/tex]: sia [tex]$b \in 3xA$[/tex] allora [tex]$b=3x \cdot \frac{a}{70^t}=3 \cdot \frac{x \cdot a}{70^t} \in 3A$[/tex]
Nota che questa inclusione è vera per ogni [tex]$x$[/tex], e non dipende neanche da [tex]$3$[/tex], è molto generale.
Ora dimostriamo [tex]$3A \subseteq 3xA$[/tex]: sia [tex]$b \in 3A$[/tex] allora [tex]$b=3 \cdot \frac{a}{70^t}$[/tex] ma allora [tex]$b= 3 \cdot a \cdot \frac{70}{70^{t+1}}$[/tex] e siccome [tex]$x \mid 70$[/tex] posso scrivere [tex]$70=x \cdot y$[/tex] e allora [tex]$b= 3 \cdot 70 \cdot \frac{a}{70^{t+1}} = 3 \cdot x \cdot \frac{a \cdot y}{70^{t+1}} \in 3xA$[/tex]
quindi ci si accorge che non dipende affatto dal [tex]$3$[/tex], sarebbe vera anche se al posto del [tex]$3$[/tex] ci fosse un qualunque altro numero intero.
Innanzitutto, buon anno a te e tutti i partecipanti al FOL.
Per quanto riguarda la dimostrazione, ho capito cosa intendi, quando asserisci che deve essere rigorosa, e tra l'altro l'aspetto della doppia inclusione insiemistica lo conoscevo e conosco, solo che non l'ho utilizzato, devo padroneggiare di più gli strumenti di algebra. Non è sempre facile far seguire una dimostrazione rigorosa ad una intuizione. Proverò a dimostrare l'esercizio in cui $m$ genera $mA$.
Sia per assurdo che $EE$ $m_1 in N$ t.c. $m_1A sup mA$ $=>$ $m_1 < m$, ma $N$ è una catena, cioè un insieme totalmente ordinato, e quindi per la
minimalità di $m$ è assurdo. Necessariamente deve essere che $m < m_1
Tuttavia ieri sera, durante il cenone, pensa te come sto messo male, pensavo al 1° quesito da me posto e cioè quello sugli elementi invertibili dell'anello
$Q_70$, orbene si era detto che questi sono del tipo $70^s/70^t$ se non ricordo male, tuttavia mi chiedevo se ci fosse una relazione con i fattori di $70$ e
sono arrivato alla seguente conclusione, che vorei condividere.
Parto proprio da quella notazione $70^s/70^t$ che posso riscrivere nel seguente modo $(2*5*7)^s/(2*5*7)^t$ $=$ $(2*5*7)^(s-t)$ posto $x=s-t$ ottengo
che $(2*5*7)^x$ cioè $(2^x)*(5^x)*(7^x)$ cioè gli elementi invertibili in $Q_70$ sono qulli del tipo: $2^x, 5^x, 7^x$ con $x in Z$
Per quanto riguarda la dimostrazione, ho capito cosa intendi, quando asserisci che deve essere rigorosa, e tra l'altro l'aspetto della doppia inclusione insiemistica lo conoscevo e conosco, solo che non l'ho utilizzato, devo padroneggiare di più gli strumenti di algebra. Non è sempre facile far seguire una dimostrazione rigorosa ad una intuizione. Proverò a dimostrare l'esercizio in cui $m$ genera $mA$.
Sia per assurdo che $EE$ $m_1 in N$ t.c. $m_1A sup mA$ $=>$ $m_1 < m$, ma $N$ è una catena, cioè un insieme totalmente ordinato, e quindi per la
minimalità di $m$ è assurdo. Necessariamente deve essere che $m < m_1
Tuttavia ieri sera, durante il cenone, pensa te come sto messo male, pensavo al 1° quesito da me posto e cioè quello sugli elementi invertibili dell'anello
$Q_70$, orbene si era detto che questi sono del tipo $70^s/70^t$ se non ricordo male, tuttavia mi chiedevo se ci fosse una relazione con i fattori di $70$ e
sono arrivato alla seguente conclusione, che vorei condividere.
Parto proprio da quella notazione $70^s/70^t$ che posso riscrivere nel seguente modo $(2*5*7)^s/(2*5*7)^t$ $=$ $(2*5*7)^(s-t)$ posto $x=s-t$ ottengo
che $(2*5*7)^x$ cioè $(2^x)*(5^x)*(7^x)$ cioè gli elementi invertibili in $Q_70$ sono qulli del tipo: $2^x, 5^x, 7^x$ con $x in Z$
no no la tua conclusione è sballata: semmai in effetti gli invertibili non sono solo quelli nella forma [tex]$2^x \cdot 5^x \cdot 7^x$[/tex]
bensì basta che siano nella forma [tex]$2^x \cdot 5^y \cdot 7^z$[/tex] capisci la differenza?
altrimenti con la tua caratterizzazione lasceresti fuori tutti i prodotti: ad esempio [tex]$70$[/tex] semplicemente, che non puoi mica scriverlo come [tex]$2^x\ o\ 5^x\ o\ 7^x$[/tex].
adesso però devo farti una critica seria: hai di nuovo avuto una buona intuizione, ma non hai assolutamente seguito la logica, e invece di passaggi correti e giustificati (non dimostri davvero niente di ciò che dici) ti abbandoni all'istinto, e arrivi ancora una volta a conclusioni sbagliate.
spero che questo campo di prova ti aiuti per non commemttere errori in futuro, a proposito, posso chiederti cosa studi?
la tua dimostrazione non dimostra un bel niente comunque, quello che hai scritto è che se [tex]$m=minA$[/tex] allora [tex]$\forall m_1 \in A,\ m
non ci siamo, non riesci proprio a capire cosa vuol dire dimostrare. riprova, è tutto quello che posso dirti.
a me sembra che tu sia sveglio e in gamba, capisci molte cose al volo, ma il tuo atteggiamento di fare le cose solo ed esclusivamente "a occhio" è tremendo e letale, e penso tu te ne stia accorgendo con tutti questi errori. accorgersene è la prima via per risolvere
bensì basta che siano nella forma [tex]$2^x \cdot 5^y \cdot 7^z$[/tex] capisci la differenza?
altrimenti con la tua caratterizzazione lasceresti fuori tutti i prodotti: ad esempio [tex]$70$[/tex] semplicemente, che non puoi mica scriverlo come [tex]$2^x\ o\ 5^x\ o\ 7^x$[/tex].
adesso però devo farti una critica seria: hai di nuovo avuto una buona intuizione, ma non hai assolutamente seguito la logica, e invece di passaggi correti e giustificati (non dimostri davvero niente di ciò che dici) ti abbandoni all'istinto, e arrivi ancora una volta a conclusioni sbagliate.
spero che questo campo di prova ti aiuti per non commemttere errori in futuro, a proposito, posso chiederti cosa studi?
la tua dimostrazione non dimostra un bel niente comunque, quello che hai scritto è che se [tex]$m=minA$[/tex] allora [tex]$\forall m_1 \in A,\ m
non ci siamo, non riesci proprio a capire cosa vuol dire dimostrare. riprova, è tutto quello che posso dirti.
a me sembra che tu sia sveglio e in gamba, capisci molte cose al volo, ma il tuo atteggiamento di fare le cose solo ed esclusivamente "a occhio" è tremendo e letale, e penso tu te ne stia accorgendo con tutti questi errori. accorgersene è la prima via per risolvere
Ciao Black. (abbrevio così se non ti dispiace)
Cominciamo da cosa studio, beh sono iscritto a Matematica al 2° anno come 2° laurea(mi è sempre piaciuta questa facoltà), e sto studiando Algebra che da me è una materia da 15 crediti, quindi veramente ma veramente pesante. Tra l'altro il mio professore con cui mi incontro qualche volta al mese, sopratutto per rivedere alcuni esercizi, è un entusiasta di questa materia.
Ho un lavoro che mi permette di studiare molto ma non di frequentare come già scrissi una volta qui sul FOL, per cui il forum per me è importante sopratutto per questa materia, su cui possono rispondere veramente in pochi. E su cui a breve avrò l'esame.(1 mese)
Per quanto riguarda l'esercizio ho scritto di proposito $2^x o 5^x o 7^x$ in quanto ho pensato al seguente esempio, ipotizziamo che sia $a = 140$ e $b = 70$, $a/b$ è invertibile in quanto il suo inverso è $70/140$ e $140|70^2$ e quindi appartiene a $Q_70$, di consegueza $2$ è invertibile in $Q_70$
Per l'altro esercizio invece volevo dimostrare per assurdo che se vi fosse un altro generatore di $I$, questo dovrebbe essere minimale in $N$.
Forse non ho definito $m$, $m = min{n in N| n in I}$, e d'altra parte non possono esserci due minimin in quanto $N$ è totalmente ordinato, e quindi si va contro le ipotesi.
In ogni caso ti ringrazio e terrò conto dei tuoi preziosi consigli
Posso solo dirti che i progressi che ho fatto grzie al FOL sono enormi.
Cominciamo da cosa studio, beh sono iscritto a Matematica al 2° anno come 2° laurea(mi è sempre piaciuta questa facoltà), e sto studiando Algebra che da me è una materia da 15 crediti, quindi veramente ma veramente pesante. Tra l'altro il mio professore con cui mi incontro qualche volta al mese, sopratutto per rivedere alcuni esercizi, è un entusiasta di questa materia.
Ho un lavoro che mi permette di studiare molto ma non di frequentare come già scrissi una volta qui sul FOL, per cui il forum per me è importante sopratutto per questa materia, su cui possono rispondere veramente in pochi. E su cui a breve avrò l'esame.(1 mese)
Per quanto riguarda l'esercizio ho scritto di proposito $2^x o 5^x o 7^x$ in quanto ho pensato al seguente esempio, ipotizziamo che sia $a = 140$ e $b = 70$, $a/b$ è invertibile in quanto il suo inverso è $70/140$ e $140|70^2$ e quindi appartiene a $Q_70$, di consegueza $2$ è invertibile in $Q_70$
Per l'altro esercizio invece volevo dimostrare per assurdo che se vi fosse un altro generatore di $I$, questo dovrebbe essere minimale in $N$.
Forse non ho definito $m$, $m = min{n in N| n in I}$, e d'altra parte non possono esserci due minimin in quanto $N$ è totalmente ordinato, e quindi si va contro le ipotesi.
In ogni caso ti ringrazio e terrò conto dei tuoi preziosi consigli
Posso solo dirti che i progressi che ho fatto grzie al FOL sono enormi.
posso saper in cosa la prima laurea? e dove studi?
comunque se vuoi ascoltarmi bene, se no scusa ma la smetto di scrivere: hai ripetutto esattamente le cose di prima, che ti ho detto essere sbagliate.
non è vero che gli elementi invertibili sono solo nella forma [tex]$2^x\ o\ 5^x\ o\ 7^x$[/tex] è falso!!
perchè ci sono tanti elementi (ad esempio [tex]$70$[/tex] oppure [tex]$10$[/tex] ) che non puoi scrivere in una di quelle tre forme.
il modo corretto di caratterizzarli è: gli elementi della forma: [tex]$2^x \cdot 5^y \cdot 7^z$[/tex] al variare di [tex]$x,y,z \in \mathbb{Z}$[/tex].
adesso che so che non sei uno giovane studente del primo anno, ma addirittura un laureato, e al secondo anno di matematica scusa ma devo accellerare:
non è acettabile quella pseudo-dimostrazione che hai dato, è sbagliata e stop, se vuoi posso pensarne una io, ma non ne vedo l'utilità.
il punto è che nessuno ti assicura nemmeno che [tex]$I$[/tex] ce l'abbia un generatore, non è che puoi dire se ne ha un altro non va bene e stop, chi dice che sto [tex]$m$[/tex] generi? devi verificare una definizione, punto.
comunque se vuoi ascoltarmi bene, se no scusa ma la smetto di scrivere: hai ripetutto esattamente le cose di prima, che ti ho detto essere sbagliate.
non è vero che gli elementi invertibili sono solo nella forma [tex]$2^x\ o\ 5^x\ o\ 7^x$[/tex] è falso!!
perchè ci sono tanti elementi (ad esempio [tex]$70$[/tex] oppure [tex]$10$[/tex] ) che non puoi scrivere in una di quelle tre forme.
il modo corretto di caratterizzarli è: gli elementi della forma: [tex]$2^x \cdot 5^y \cdot 7^z$[/tex] al variare di [tex]$x,y,z \in \mathbb{Z}$[/tex].
adesso che so che non sei uno giovane studente del primo anno, ma addirittura un laureato, e al secondo anno di matematica scusa ma devo accellerare:
non è acettabile quella pseudo-dimostrazione che hai dato, è sbagliata e stop, se vuoi posso pensarne una io, ma non ne vedo l'utilità.
il punto è che nessuno ti assicura nemmeno che [tex]$I$[/tex] ce l'abbia un generatore, non è che puoi dire se ne ha un altro non va bene e stop, chi dice che sto [tex]$m$[/tex] generi? devi verificare una definizione, punto.
ok, la forma $2^x*5^y*7^z$ è quella che effettivamente li racchiude tutti.
Io non riuscivo a comprendere la formulazione con l'esponente uguale per tutti.
Per quanto riguarda l'ideale ci ragiono con calma.
PS
Per quanto riuarda l'università ho, frequentato i primi 2 anni la G. Castelnuovo-Sapienza-Roma, anche se più che frquentarla, facevo solo gli esami.
A settembre, causa trasferimento di lavoro per un pò di tempo, l'ho portata all'università di Catania, e sebbene io abbia cominciato a studiare algebra a Roma, a Catania la materia è da 15 crediti contro i 9 della Sapienza. E gli esercizi sono molto più teorici, diciamo che a Roma erano più di calcolo a Catania sono più astratti, la teoria era richiesta all'orale. E qui sta tutto il mio problema attuale circa le dimostrazioni, che spero di superare a breve. Inoltre a Catania già in Algebra è molto stressata la parte relativa ai Gruppi che mi ha portato via due mesi pieni e che a Roma si fa pienamente in Algebra2. Non mi lamento del nuovo approccio, solo che è nuovo appunto. Comincio a saper risolvere gli esercizi, o almeno ad inquadrarli, è stata dura cambiare
Mi sono laureato in Economia Politica indirizzo Matematica per l'Economia(ma di alto livello, nulla a che vedere con materie quali Algebra o Topologia), tanti anni fa, laurea che mi ha dato grosse soddisfazioni professionali, ma mi sono presto annoiato del solo lavoro, da qui la mia iscrizione alla facoltà la cui materia mi è sempre piaciuta ed affascinato
Tu sei un ricercatore?
Io non riuscivo a comprendere la formulazione con l'esponente uguale per tutti.
Per quanto riguarda l'ideale ci ragiono con calma.
PS
Per quanto riuarda l'università ho, frequentato i primi 2 anni la G. Castelnuovo-Sapienza-Roma, anche se più che frquentarla, facevo solo gli esami.
A settembre, causa trasferimento di lavoro per un pò di tempo, l'ho portata all'università di Catania, e sebbene io abbia cominciato a studiare algebra a Roma, a Catania la materia è da 15 crediti contro i 9 della Sapienza. E gli esercizi sono molto più teorici, diciamo che a Roma erano più di calcolo a Catania sono più astratti, la teoria era richiesta all'orale. E qui sta tutto il mio problema attuale circa le dimostrazioni, che spero di superare a breve. Inoltre a Catania già in Algebra è molto stressata la parte relativa ai Gruppi che mi ha portato via due mesi pieni e che a Roma si fa pienamente in Algebra2. Non mi lamento del nuovo approccio, solo che è nuovo appunto. Comincio a saper risolvere gli esercizi, o almeno ad inquadrarli, è stata dura cambiare
Mi sono laureato in Economia Politica indirizzo Matematica per l'Economia(ma di alto livello, nulla a che vedere con materie quali Algebra o Topologia), tanti anni fa, laurea che mi ha dato grosse soddisfazioni professionali, ma mi sono presto annoiato del solo lavoro, da qui la mia iscrizione alla facoltà la cui materia mi è sempre piaciuta ed affascinato
Tu sei un ricercatore?
"emanuele78":
Mi sono laureato in Economia Politica indirizzo Matematica per l'Economia(ma di alto livello, nulla a che vedere con materie quali Algebra o Topologia)
abbiamo idee diverse su cosa sia di alto livello!
"emanuele78":
Tu sei un ricercatore?
io sono un ventenne studente del secondo anno (matematica a Pisa) e, come è più usuale, alla prima laurea...
forse voleva scrivere di "altro livello" 
Matematica a Pisa..... ora capisco tante cose, positive ovviamente e altre un po' meno (vista la tua giovane eta'), ma nulla di grave eh!!!
PS. scusate l'OT, non si ripetera' piu'.
Matematica a Pisa..... ora capisco tante cose, positive ovviamente
e altre un po' meno (vista la tua giovane eta'), ma nulla di grave eh!!! PS. scusate l'OT, non si ripetera' piu'.
"blackbishop13":
il punto è che nessuno ti assicura nemmeno che [tex]$I$[/tex] ce l'abbia un generatore, non è che puoi dire se ne ha un altro non va bene e stop, chi dice che sto [tex]$m$[/tex] generi? devi verificare una definizione, punto.
Ciao, volevo definire quest'ultimo aspetto che era rimasto in sospeso.
Credo di aver capito che il dubbio che poni sta sul fatto che devo accertarmi che $m$ effettivamente sia un generatore di $I$. Faccio un tentativo.
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Affinchè $m$ sia un generatore di $I$ deve essere che per ogni ideale della forma $m*a$ con $a in A$ è multiplo di $m$ e quindi ogni ideale generato da
$m$ è contenuto in un ideale contenente $m$. Quindi $(m) = m*A ={m*a|a in A}$
Passando alla verifica, devo quindi verificare che dati due interi $m,m_1$ uno è multiplo dell'altro. Quindi $m$ è un intero positivo per HP, sia $m_1$ un altro
intero t.c. $m_1*A in m*A$ e cioè $m*a <= m_1*a$ $AA a in A$, e quindi $m <= m_1$, essendo $m$ minimale in $N$ ed essendo $N$ un
insieme totalmente ordinato la disuguaglianza vale in senso stretto $m < m_1$ cioè $m_1 = n*m$ è un suo multiplo, e quindi ogni ideale della forma
$m*a in (m) AA m in N$. Infine per HP $m in N | m in I$, essendo che $Q_70 =A$ è un sottoanello di $Q$ contenente $Z$, e $Z$ contiene $N$, $I = m*A$
Mi chidevo ma $m = 1$?
PS
Alto $=$ Altro
"emanuele78":
Affinchè $m$ sia un generatore di $I$ deve essere che per ogni ideale della forma $m*a$ con $a in A$ è multiplo di $m$ e quindi ogni ideale generato da $m$ è contenuto in un ideale contenente $m$.
ti giuro che ho cercato di capire queste due righe per più di 3 minuti, fallendo. E anche il resto mi rimane incomprensibile.poi a me pare che tu sottintendi che se [tex]$m
Insomma, la definizione di generatore è: [tex]$m$[/tex] genera [tex]$I$[/tex] se [tex]$\forall x \in I,\ \exists a \in A \text{ tale che } x=a \cdot m$[/tex].
Prenderemo quindi [tex]$\frac{x}{70^t}$[/tex] e dobbiamo mostrare che esiste un [tex]$a \in A$[/tex] tale che [tex]$m \cdot a = \frac{x}{70^t}$[/tex]
Perchè deve esistere tale [tex]$a$[/tex]. Questa è la domanda.
Vedi la differenza tra la mia impostazione e la tua?
Innanzitutto grazie del tutoraggio
Provo a rispondere partendo dall'ultima domanda. Si, noto la differenza tra la mia impostazione e la tua, infatti la differenza deriva dal fatto che abbiamo cercato di dimostrare cose diverse. Posso solo dirti che avevo una definizione di generatore di ideale che è impostata in maniera diversa dalla tua, ma che sicuramente coincidono, visto che non ne possono esistere di diverse, o che più probabilmente ho sbagliato ad interpretare. Semplificando al massimo la definizione che ho studiato e che probabilmente ho male interpretato definiva generatore di un ideale un elemento che generava un ideale che conteneva tutti i suoi multipli.
Sinceramente mi piace più l'impostazione tua. E' chiaro che non intendo assolutamente dire che se presi due interi t.c. $m
Cmq partendo dalla tua impostazione, che apprezzo, non fosse altro perchè hmi sembra più chiara, provo, a rispondere, sebbene ormai incerto, alla tua penultima domanda, e cioè al fatto per cui deve esistere un $a in A$ t.c. $m*a = x/70^t$.
Essendo $I$ un ideale sull'anello $Q_70$ e $m$ un intero positivo minimale per definizione , poichè solo $m$ non può generare $I = m*A$, per ovvi motivi, deve esistere allora un altro elemento $a$ t.c. $m*a = x/70^t$, e tale elemento non può che essere cercato nel sottoanello $Q_70 = A$. E per qualsiasi valore di $x/70^t$ esiste un elemento $a in A$ t.c. $x/70^t = m*a$.
Provo a rispondere partendo dall'ultima domanda. Si, noto la differenza tra la mia impostazione e la tua, infatti la differenza deriva dal fatto che abbiamo cercato di dimostrare cose diverse. Posso solo dirti che avevo una definizione di generatore di ideale che è impostata in maniera diversa dalla tua, ma che sicuramente coincidono, visto che non ne possono esistere di diverse, o che più probabilmente ho sbagliato ad interpretare. Semplificando al massimo la definizione che ho studiato e che probabilmente ho male interpretato definiva generatore di un ideale un elemento che generava un ideale che conteneva tutti i suoi multipli.
Sinceramente mi piace più l'impostazione tua. E' chiaro che non intendo assolutamente dire che se presi due interi t.c. $m
Cmq partendo dalla tua impostazione, che apprezzo, non fosse altro perchè hmi sembra più chiara, provo, a rispondere, sebbene ormai incerto, alla tua penultima domanda, e cioè al fatto per cui deve esistere un $a in A$ t.c. $m*a = x/70^t$.
Essendo $I$ un ideale sull'anello $Q_70$ e $m$ un intero positivo minimale per definizione , poichè solo $m$ non può generare $I = m*A$, per ovvi motivi, deve esistere allora un altro elemento $a$ t.c. $m*a = x/70^t$, e tale elemento non può che essere cercato nel sottoanello $Q_70 = A$. E per qualsiasi valore di $x/70^t$ esiste un elemento $a in A$ t.c. $x/70^t = m*a$.
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