Problema con gli elementi invertibili
Salve ragazzi, ho un problema con la comprensione degli elementi invertibili in un anello.
Esempio
Sia $Q_70 = {a/b | b=70^t, t in N}$
Devo determinare gli elementi ivertibili, se fossimo in $Z_70$ direi che sono gli elementi coprimi con $70$ che sono utilizzando Eulero $24$.
Ma in questo anello, un'eventuale inverso dovrebbe contenere sempre un multiplo di $70$ e non un numero coprimo con $70$.
Cioè se $a/b$ è un elemento invertibile di $Q_70$ e $a_1/b_1$ è il suo inverso allora $a/b ** a_1/b_1 = 1$ ma $b_1$ dovrebbe essere contemporaneamente multiplo di $70$ e coprimo con esso.
Dove sto sbagliando?
Grazie
Esempio
Sia $Q_70 = {a/b | b=70^t, t in N}$
Devo determinare gli elementi ivertibili, se fossimo in $Z_70$ direi che sono gli elementi coprimi con $70$ che sono utilizzando Eulero $24$.
Ma in questo anello, un'eventuale inverso dovrebbe contenere sempre un multiplo di $70$ e non un numero coprimo con $70$.
Cioè se $a/b$ è un elemento invertibile di $Q_70$ e $a_1/b_1$ è il suo inverso allora $a/b ** a_1/b_1 = 1$ ma $b_1$ dovrebbe essere contemporaneamente multiplo di $70$ e coprimo con esso.
Dove sto sbagliando?
Grazie
Risposte
Dovrei anche rispondere a questo quesito.
Tra i seguenti ideali $18A$, $45A$, $77A$ quali sono primi?
Tra i seguenti ideali $18A$, $45A$, $77A$ quali sono primi?
[tex]$\mathbb{Z}_{70}$[/tex] non c'entra assolutamente niente, lascialo stare.
penso di avere capito che [tex]$a \in \mathbb{Z}$[/tex] anche se non lo hai specificato.
stai procedendo bene, l'esercizio ti chiede di trovare gli invertibili, non di dimostrre che tutti lo sono, quindi non devi stupirti se ci sono anche elementi che non lo sono.
il tuo ragionamento è: [tex]$\frac{a}{70^t}$[/tex] è invertibile se [tex]$\exists \frac{a_1}{b_1} \in Q_{70}$[/tex] tale che [tex]$\frac{a}{70^t} \cdot \frac{a_1}{b_1}$[/tex] quindi [tex]$a_1=b \land a_1=70^t$[/tex]
con [tex]$a_1$[/tex] nessun problema, quello è il suo valore.
ma deve essere affinchè valga [tex]$\frac{a_1}{b_1} \in Q_{70}$[/tex] che [tex]$a=b_1 = 70^r$[/tex].
quindi gli invertibili sono nella forma [tex]$\frac{70^r}{70^t}=70^{r-t}=70^x$[/tex] al variare di [tex]$x \in \mathbb{Z}$[/tex]
capito? non ho fato che scrivere per bene quello che avevi già detto tu.
per il secondo problema, magari dovresti dirci cos'è [tex]$A$[/tex]
penso di avere capito che [tex]$a \in \mathbb{Z}$[/tex] anche se non lo hai specificato.
stai procedendo bene, l'esercizio ti chiede di trovare gli invertibili, non di dimostrre che tutti lo sono, quindi non devi stupirti se ci sono anche elementi che non lo sono.
il tuo ragionamento è: [tex]$\frac{a}{70^t}$[/tex] è invertibile se [tex]$\exists \frac{a_1}{b_1} \in Q_{70}$[/tex] tale che [tex]$\frac{a}{70^t} \cdot \frac{a_1}{b_1}$[/tex] quindi [tex]$a_1=b \land a_1=70^t$[/tex]
con [tex]$a_1$[/tex] nessun problema, quello è il suo valore.
ma deve essere affinchè valga [tex]$\frac{a_1}{b_1} \in Q_{70}$[/tex] che [tex]$a=b_1 = 70^r$[/tex].
quindi gli invertibili sono nella forma [tex]$\frac{70^r}{70^t}=70^{r-t}=70^x$[/tex] al variare di [tex]$x \in \mathbb{Z}$[/tex]
capito? non ho fato che scrivere per bene quello che avevi già detto tu.
per il secondo problema, magari dovresti dirci cos'è [tex]$A$[/tex]
"blackbishop13":
[tex]$\mathbb{Z}_{70}$[/tex] non c'entra assolutamente niente, lascialo stare.
penso di avere capito che [tex]$a \in \mathbb{Z}$[/tex] anche se non lo hai specificato.
stai procedendo bene, l'esercizio ti chiede di trovare gli invertibili, non di dimostrre che tutti lo sono, quindi non devi stupirti se ci sono anche elementi che non lo sono.
il tuo ragionamento è: [tex]$\frac{a}{70^t}$[/tex] è invertibile se [tex]$\exists \frac{a_1}{b_1} \in Q_{70}$[/tex] tale che [tex]$\frac{a}{70^t} \cdot \frac{a_1}{b_1}$[/tex] quindi [tex]$a_1=b \land a_1=70^t$[/tex]
con [tex]$a_1$[/tex] nessun problema, quello è il suo valore.
ma deve essere affinchè valga [tex]$\frac{a_1}{b_1} \in Q_{70}$[/tex] che [tex]$a=b_1 = 70^r$[/tex].
quindi gli invertibili sono nella forma [tex]$\frac{70^r}{70^t}=70^{r-t}=70^x$[/tex] al variare di [tex]$x \in \mathbb{Z}$[/tex]
capito? non ho fato che scrivere per bene quello che avevi già detto tu.
per il secondo problema, magari dovresti dirci cos'è [tex]$A$[/tex]
Thanks a lot,
mentre ragiono sulla tua risposta (non sai quanto importante, ti dico subito che $A$ è $Q_70$
allora per il secondo devi ragionare un pochino.
sarebbe bello se tu dicessi una tua idea, poi semmai ti dò una mano ad arrivare in fondo.
intanto pensa alla definizione di ideale primo.
sarebbe bello se tu dicessi una tua idea, poi semmai ti dò una mano ad arrivare in fondo.
intanto pensa alla definizione di ideale primo.
Per quanto riguarda gli elementi invertibili, ho capito perfettamente e ti ringrazio.
Per quanto riguarda gli ideali primi.
Seguendo la definizione deve valere che se $a,b in A$ e $ab in I$ $=>$ $a in I$ oppure $b in I$
non riesco a capire la differenza tra ideale primo e non primo, e quindi non riesco a determinare quali di quelli è primo.
Intuitivamente capisco che in $Z$ ogni ideale della forma $pZ$ è primo, e rispetta quella definizione.
Ma non riesco ad applicarla ai casi da me postati, che sono definiti in $A = Q_70$
Per quanto riguarda gli ideali primi.
Seguendo la definizione deve valere che se $a,b in A$ e $ab in I$ $=>$ $a in I$ oppure $b in I$
non riesco a capire la differenza tra ideale primo e non primo, e quindi non riesco a determinare quali di quelli è primo.
Intuitivamente capisco che in $Z$ ogni ideale della forma $pZ$ è primo, e rispetta quella definizione.
Ma non riesco ad applicarla ai casi da me postati, che sono definiti in $A = Q_70$
Ragionandoci su
Sappiamo che la fattorizzazione di $70$ è $2*5*7$
Ora quella di $18$ è $2*3*3$, $45 = 5*3*3$, e $77 = 7*11$
prendiamo per esempio due elementi $a,b in A$ t.c $ab in 18A$, affinchè $ab in 18A$ è normale che uno tra $a,b in 18A$ ma questo potrebbe valere per tutti gli ideali per questo non capisco.
Sappiamo che la fattorizzazione di $70$ è $2*5*7$
Ora quella di $18$ è $2*3*3$, $45 = 5*3*3$, e $77 = 7*11$
prendiamo per esempio due elementi $a,b in A$ t.c $ab in 18A$, affinchè $ab in 18A$ è normale che uno tra $a,b in 18A$ ma questo potrebbe valere per tutti gli ideali per questo non capisco.
ti vedo un po' confuso.
cerca di formalizzare meglio.
[tex]$18 \cdot \frac{a}{70^t}$[/tex] possiamo anche scriverlo come:
[tex]$18 \cdot a$[/tex] se [tex]$t=0$[/tex]
oppure come [tex]$\frac{18}{70} \cdot \frac{a}{70^{t-1}} = \frac{9}{35} \cdot \frac{a}{70^{t-1}}$[/tex] se [tex]$t>0$[/tex]
ora ad esempio [tex]$6 \cdot 3 = 18 \in 18A$[/tex] ma.. completa tu.
cerca di formalizzare meglio.
[tex]$18 \cdot \frac{a}{70^t}$[/tex] possiamo anche scriverlo come:
[tex]$18 \cdot a$[/tex] se [tex]$t=0$[/tex]
oppure come [tex]$\frac{18}{70} \cdot \frac{a}{70^{t-1}} = \frac{9}{35} \cdot \frac{a}{70^{t-1}}$[/tex] se [tex]$t>0$[/tex]
ora ad esempio [tex]$6 \cdot 3 = 18 \in 18A$[/tex] ma.. completa tu.
"blackbishop13":
ti vedo un po' confuso.
cerca di formalizzare meglio.
[tex]$18 \cdot \frac{a}{70^t}$[/tex] possiamo anche scriverlo come:
[tex]$18 \cdot a$[/tex] se [tex]$t=0$[/tex]
oppure come [tex]$\frac{18}{70} \cdot \frac{a}{70^{t-1}} = \frac{9}{35} \cdot \frac{a}{70^{t-1}}$[/tex] se [tex]$t>0$[/tex]
ora ad esempio [tex]$6 \cdot 3 = 18 \in 18A$[/tex] ma.. completa tu.
Hai ragione sull'argomento degli Ideali Primi, sono molto confuso, sinceramente pensavo di averlo capito, ed invece sono pieno di incertezze.
Spero di non dire sciocchezze, ma riprendendo la definizione di ideale primo si ha che $6,3 notin 18A$, e quindi $18A$ non è un ideale primo.
Se fosse così, e mi piacerebbe pensarlo visto che tutto ritorna con la definizione di ideale primo, allora nessuno di quegli ideali postati è primo, infatti $7**11 = 77 in 77A$ ma $7,11 notin 77A$, e lo stesso dicasi per $45A$.
ok è vero ma perchè [tex]$3,6 \notin 18A$[/tex]?
Ragionandoci ulteriormente potevo utilizzare il fatto che in un anello commutativo unitario vale la doppia implicazione per cui ogni ideale massimale è primo e viceversa. Nei tre casi precedenti nessuno di essi è massimale, essendoci ideali che li contengono quali per esempio per $77A$ gli ideali $7A, 11A$.
"blackbishop13":
ok è vero ma perchè [tex]$3,6 \notin 18A$[/tex]?
Perchè credo che $18$ dovrebbe dividere almeno un fattore tra $a,b$ nel caso $3,6$, e così non è.
Il mio errore, se sono corretti gli ultimi ragionamenti, è stato nel fatto che ho interpretato male ciò che l'esercizio mi chiedeva.
L'esercizio mi chiedeva quali tra quelli postati fossero ideali primi, da ciò ho dedotto che almeno uno lo fosse, e qui ho messo in dubbio le mie certezze.
In realtà l'esercizio non mi ha chiesto di verificare quali tra i seguenti fosse un ideale primo, che imponeva che almeno uno lo fosse.
Bisogna stare moooooolto attenti a come sopo posti i quesiti.
L'esercizio mi chiedeva quali tra quelli postati fossero ideali primi, da ciò ho dedotto che almeno uno lo fosse, e qui ho messo in dubbio le mie certezze.
In realtà l'esercizio non mi ha chiesto di verificare quali tra i seguenti fosse un ideale primo, che imponeva che almeno uno lo fosse.
Bisogna stare moooooolto attenti a come sopo posti i quesiti.
mah, non mi hai proprio convinto.
e se avessi detto che [tex]$18=9 \cdot 2 \in 18A$[/tex] e [tex]$2,9 \notin 18A$[/tex] ?
e se avessi detto che [tex]$18=9 \cdot 2 \in 18A$[/tex] e [tex]$2,9 \notin 18A$[/tex] ?
"blackbishop13":
mah, non mi hai proprio convinto.
e se avessi detto che [tex]$18=9 \cdot 2 \in 18A$[/tex] e [tex]$2,9 \notin 18A$[/tex] ?
Se applico la definizione di ideale primo dovrebbe essere che $18A$ è primo se dati due qualunque $a,b in A$ t.c. $a**b in 18A$ se $a in 18A$ oppure $b in 18A$, ora sia che si tratti di $6**3$ che di $9**2$ nessuno dei quattro elementi appartiene a $18A$ ma il loro prodotto appartiene a $18A$. Questo mi sembra corretto e cosa importante l'ho capito. Ora mi domandi perchè quei quattro elementi non appartengono a $18A$? (credo sia questo il quesito)
Beh perchè, credo che in $18A$ esistano solo multipli di $18$ ovvero $18$ non divide nessuno dei quattro elementi.
Diverso se l'ideale fosse per esempio $5A$ allora presi $a,b in A$ t.c $a =5, b =9$ si ha ce $ab = 45 in 5A$ e $a in 5A$, questo ideale è primo, ed anche massimale in quanto non incluso in un altro ideale proprio.
Se fosse corretto il mio ragionamento, mi tornano molte cose.
Non riesco a trovare l'errore
la risposta è semplice:
[tex]$9=18 \cdot \frac{35}{70} \in 18A$[/tex]
mi dispiace ma sei andato troppo di fretta, e non hai capito.
tra l'altro mi sono accorto che hai scritto un'altra cosa falsa: uno di questi tre ideali è effettivamente primo, divesamente da ciò che hai scritto.
quindi torna indietro, fai attenzione e dimostra le cose che dici.
(il punto è che tu stai pensando come se fossimo in [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] mentre non lo siamo)
[tex]$9=18 \cdot \frac{35}{70} \in 18A$[/tex]
mi dispiace ma sei andato troppo di fretta, e non hai capito.
tra l'altro mi sono accorto che hai scritto un'altra cosa falsa: uno di questi tre ideali è effettivamente primo, divesamente da ciò che hai scritto.
quindi torna indietro, fai attenzione e dimostra le cose che dici.
(il punto è che tu stai pensando come se fossimo in [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] mentre non lo siamo)
"blackbishop13":
la risposta è semplice:
[tex]$9=18 \cdot \frac{35}{70} \in 18A$[/tex]
mi dispiace ma sei andato troppo di fretta, e non hai capito.
tra l'altro mi sono accorto che hai scritto un'altra cosa falsa: uno di questi tre ideali è effettivamente primo, divesamente da ciò che hai scritto.
quindi torna indietro, fai attenzione e dimostra le cose che dici.
(il punto è che tu stai pensando come se fossimo in [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] mentre non lo siamo)
Si sono andato di fretta lo riconosco, ma almeno ho ripristinato alcune certezze, seppur in Z. O meglio alcune verità di cui avevo incertezza anche in $Z$.
Ora, grazie al tuo suggerimento, ed al fatto che ho ricostruito alcuni concetti, dovrei essere in grado di individuare quali tra quelli da me postati sono ideali primi.
Innanzitutto osservo che siamo in $Q_70$ e $70 = 2*3*5$, quindi è primo l'ideale che diviso per uno di questi fattori restitiuisce un numero primo, in modo tale da verificare la definizione di Ideale Primo.
Ricordando che gli ideali erano $18A$, $45A$, $77A$, si verifica che l'unico ideale primo è $77A$ che diviso $7$ restiuisce $11A$, ora questo ideale è sicuramente primo prchè presi $a,b in A$ t.c. $a*b in 11A$ $=>$ $a in 11A$ oppure $b in 11A$
Questa volta dovremmo sserci anche in $Q_70$
Dimenticavo.
Grazie del contributo
prego, è un piacere, questi esercizi non erano del tutto banali, è stato carino affrontarli.
comunque a studiare matematica si diventa sospettosi.. hai detto cose vere e corrette, però è tutto a livello di chiacchierata, non c'è nemmeno un accenno di dimostrazione di certi fatti importanti.. basta un controesempio per mostrare che [tex]$18A$[/tex] non è un ideale primo, però ci va qualcosina in più per dimostrare che invece [tex]$77A$[/tex] lo è.
Poi non mi piace tanto quando dici "diviso 7". perchè dovremmo voler dividere per 7? a che serve, e soprattutto, possiamo farlo?
però in effetti mi piace quando dici che la primalità di [tex]$77A$[/tex] dipende dal fatto che [tex]$11A$[/tex] è primo perchè [tex]$11 \nmid 70$[/tex] e [tex]$11$[/tex] è primo. diciamo che mi fido, penso che sapresti dimostrarlo per bene, però farlo non sarebbe una cattiva idea.
comunque a studiare matematica si diventa sospettosi.. hai detto cose vere e corrette, però è tutto a livello di chiacchierata, non c'è nemmeno un accenno di dimostrazione di certi fatti importanti.. basta un controesempio per mostrare che [tex]$18A$[/tex] non è un ideale primo, però ci va qualcosina in più per dimostrare che invece [tex]$77A$[/tex] lo è.
Poi non mi piace tanto quando dici "diviso 7". perchè dovremmo voler dividere per 7? a che serve, e soprattutto, possiamo farlo?
però in effetti mi piace quando dici che la primalità di [tex]$77A$[/tex] dipende dal fatto che [tex]$11A$[/tex] è primo perchè [tex]$11 \nmid 70$[/tex] e [tex]$11$[/tex] è primo. diciamo che mi fido, penso che sapresti dimostrarlo per bene, però farlo non sarebbe una cattiva idea.
"blackbishop13":
prego, è un piacere, questi esercizi non erano del tutto banali, è stato carino affrontarli.
comunque a studiare matematica si diventa sospettosi.. hai detto cose vere e corrette, però è tutto a livello di chiacchierata, non c'è nemmeno un accenno di dimostrazione di certi fatti importanti.. basta un controesempio per mostrare che [tex]$18A$[/tex] non è un ideale primo, però ci va qualcosina in più per dimostrare che invece [tex]$77A$[/tex] lo è.
Poi non mi piace tanto quando dici "diviso 7". perchè dovremmo voler dividere per 7? a che serve, e soprattutto, possiamo farlo?
però in effetti mi piace quando dici che la primalità di [tex]$77A$[/tex] dipende dal fatto che [tex]$11A$[/tex] è primo perchè [tex]$11 \nmid 70$[/tex] e [tex]$11$[/tex] è primo. diciamo che mi fido, penso che sapresti dimostrarlo per bene, però farlo non sarebbe una cattiva idea.
Con dividere per $7$ voglio dire che $7$ è un fattore di $70$ quindi l'ideale $77A$ diventa $77*a/70$ quindi diventa $11*a/10$.
Che è primo in $A$. In quanto cmq presi $a,b in A$ se il loro prodotto è in $11A$ e $11$ divide almeno un fattore
Il mio prof. mi ha detto che in Algebra una strada utile è fattorizzare qualsiasi numerso, perchè la fattorizzazione ci dà elementi importanti per la soluzione degli esercizi, pertanto per esempio $70$ è meglio vederlo come $2*5*7$
PS: Ultimamente mi viene difficile scrivere nella finestra, poichè la barra spaziatrice al lato, quando scrivo oltre certe righe si riposiziona in alto, avete anche voi questo problema?
Sempre in questo esercizio mi si chiede per esempio sia $I$ un ideale non nullo di $A$ ed $m =min{n in N | n in I}$. Verificare che $I = mA$, cioè $m$ genera $I$
Ho così argomentato:
Se $m in I$ allora essendo $I = mA$ $m in mA$. Per la minimalità di $m$, $m$ è il più piccolo elemento di $mA$, quindi poichè $I = mA$ segue che $m$ genera $I$
Infine l'ultimo esercizio mi chiede di verificare che gli ideali $15A, 21A, 30A, 42A$ coincidono in $A$. Noto subito fattorizzando gli ideali che $3$ è l'unico fattore presente in tutti e $4$ e che non fattorizza $70$, mentre gli altri fattori($2,5,7)$ sono presenti in $70$, e quindi gli ideali coincidono
Scrivo anche questi due quesiti, perchè pensavo di aver risposto correttamente, ma non sia mai..
Ho così argomentato:
Se $m in I$ allora essendo $I = mA$ $m in mA$. Per la minimalità di $m$, $m$ è il più piccolo elemento di $mA$, quindi poichè $I = mA$ segue che $m$ genera $I$
Infine l'ultimo esercizio mi chiede di verificare che gli ideali $15A, 21A, 30A, 42A$ coincidono in $A$. Noto subito fattorizzando gli ideali che $3$ è l'unico fattore presente in tutti e $4$ e che non fattorizza $70$, mentre gli altri fattori($2,5,7)$ sono presenti in $70$, e quindi gli ideali coincidono
Scrivo anche questi due quesiti, perchè pensavo di aver risposto correttamente, ma non sia mai..
"emanuele78":
PS: Ultimamente mi viene difficile scrivere nella finestra, poichè la barra spaziatrice al lato, quando scrivo oltre certe righe si riposiziona in alto, avete anche voi questo problema?
è perchè scrivi messaggi troppo lunghi. ad esempio, non c'è nessun motivo per riportare i messaggi già scritti sempre e comunque per intero come fai.
a mio modestissimo avviso sei troppo poco formale. non dimostri le cose, hai delle intuizioni e le segui, senza verificarle.
anche in questi due ultimi quesiti, probabilmente sono giusti, ma il fatto che non ne sei sicuro dovrebbe farti pensare: hai dato delle motivazioni serie? no, hai solo accennato delle possibili strade per arrivare ad una dimostrazione.
anche il fatto che prima eri convinto che [tex]$9 \notin 18A$[/tex] dovrebbe farti pensare: l'unico modo per capire davvero è mettersi lì e dimostrare le cose in maniera formale, non solo chicchierando, altrimenti non sarai mai sicuro delle tue affermazioni e rischierai di prendere dei grossi abbagli, come in quest'esercizio.
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