Problema con campi di spezzamento e gruppi di Galois
Buona sera a tutti,
mi rivolgo a voi perchè ho dei problemi nello svoglere alcuni esercizi e spero che possiate darmi una mano.
Vi dico subito quali sono gli esercizi e a cosa ho pensato io per risolverli:
1)Trova il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^3+2x^4+2 \) su \(\displaystyle Q \) e dimostrare che è contenuto in un'estensione risolubile.
2)Calcola le radici di \(\displaystyle x^3+x+1 \) nel campo \(\displaystyle (F_2 [\alpha],\alpha^3 = 1+ \alpha^2) \).
3)Trova un numero algebrico il cui polinomio minimo sui razionali ha un gruppo di Galois isomorfo a \(\displaystyle C_3 X C_9 X C_{27} \) .
4)Sapendo che il \(\displaystyle p^2 \)-esimo polinomio ciclotomico è $ \frac{x^(p^2-1)}{x^p -1} $ dimostrare che il suo discriminante è pari a $ \pm p^(2p^2-3) $.
2) per risolvere questo ho pensato di ricavarmi \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \alpha^3 \) da \(\displaystyle \alpha^3 = 1+ \alpha^2 \) e di andarle a sostituire nel polinomio di cui devo cercare le soluzioni.
Ottenendo un polinomio di quarto grado in alfa:
\(\displaystyle \alpha^2+ \frac{1}{\alpha^2 } +1\) = \(\displaystyle \alpha^4+3\alpha^2+1 \). Solo che per trovare le soluzioni,dopo essere passata a un polinomio di II grado con una sostituzione, dovrei usare la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado ma quando vado a fare il fratto 2*coefficiente del termine di graado 2 ho problemi,dato che il mio campo ha char=2 !!Allora devo aver sbagliato il modo di ragionare...
3) Il problema di Galois inverso..Che roba!
Vi dico cosa ho fatto:
Primo passo : cerco tre primi p,q,r tali che \(\displaystyle p = 1(mod 3) \), \(\displaystyle q = 1(mod9) \) e \(\displaystyle r= 1(mod 27) \) ossia p=7,q=19 e r=109 e calcolo $n= p*q*r $.
Secondo passo: Sia $G_1 = Gal(\frac{Q(\zeta_{7})}{Q}) = U(frac{Z}{7Z}) $ ciclico con 6 elementi. Mi scelgo un sottogruppo $H_1$ di cardinalità 2.
Sia $G_2 = Gal(\frac{Q(\zeta_{19})}{Q}) = U(frac{Z}{19Z}) $ ciclico con 18 elementi. Mi scelgo un sottogruppo $H_2$ di cardinalità 2.
Sia $G_3 = Gal(\frac{Q(\zeta_{109})}{Q}) = U(frac{Z}{109Z}) $ ciclico con 109 elementi. Mi scelgo un sottogruppo $H_3$ di cardinalità 3.
Terzo passo: Ho che:
\(\displaystyle \frac{U(Z /7Z)}{H_1} X \frac{U(Z /19Z)}{H_2} X \frac{U(Z/109Z)}{H_3} = \frac{U(Z_n)}{H} \) .
Primo problema:come trovo questo H? e gli $H_i$ in generale?
Quarto passo: Se H è generato da un $\phi$ , chiamo L il sottocampo fissato da $\phi$ ;allora L è estensione semplice dei razionali,cioè $ L = QQ [ \eta] $ ove $\eta$ è il numero algebrico che stavo cercando.
I miei problemi è che ho questo algoritmo ma non so portarlo a termine,dal secondo passo in poi mi sembra tutto abbastanza oscuro.
1) e 4) purtroppo non ho molte idee..
Caapisco che sonomolte domande e mi scuso per essermi cosi dilungata,spero in un aiuto anche solo in una parte delle mie richieste. Vi ringrazio anticipatamente per la cortese attenzione!
mi rivolgo a voi perchè ho dei problemi nello svoglere alcuni esercizi e spero che possiate darmi una mano.
Vi dico subito quali sono gli esercizi e a cosa ho pensato io per risolverli:
1)Trova il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^3+2x^4+2 \) su \(\displaystyle Q \) e dimostrare che è contenuto in un'estensione risolubile.
2)Calcola le radici di \(\displaystyle x^3+x+1 \) nel campo \(\displaystyle (F_2 [\alpha],\alpha^3 = 1+ \alpha^2) \).
3)Trova un numero algebrico il cui polinomio minimo sui razionali ha un gruppo di Galois isomorfo a \(\displaystyle C_3 X C_9 X C_{27} \) .
4)Sapendo che il \(\displaystyle p^2 \)-esimo polinomio ciclotomico è $ \frac{x^(p^2-1)}{x^p -1} $ dimostrare che il suo discriminante è pari a $ \pm p^(2p^2-3) $.
2) per risolvere questo ho pensato di ricavarmi \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \alpha^3 \) da \(\displaystyle \alpha^3 = 1+ \alpha^2 \) e di andarle a sostituire nel polinomio di cui devo cercare le soluzioni.
Ottenendo un polinomio di quarto grado in alfa:
\(\displaystyle \alpha^2+ \frac{1}{\alpha^2 } +1\) = \(\displaystyle \alpha^4+3\alpha^2+1 \). Solo che per trovare le soluzioni,dopo essere passata a un polinomio di II grado con una sostituzione, dovrei usare la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado ma quando vado a fare il fratto 2*coefficiente del termine di graado 2 ho problemi,dato che il mio campo ha char=2 !!Allora devo aver sbagliato il modo di ragionare...
3) Il problema di Galois inverso..Che roba!
Vi dico cosa ho fatto:
Primo passo : cerco tre primi p,q,r tali che \(\displaystyle p = 1(mod 3) \), \(\displaystyle q = 1(mod9) \) e \(\displaystyle r= 1(mod 27) \) ossia p=7,q=19 e r=109 e calcolo $n= p*q*r $.
Secondo passo: Sia $G_1 = Gal(\frac{Q(\zeta_{7})}{Q}) = U(frac{Z}{7Z}) $ ciclico con 6 elementi. Mi scelgo un sottogruppo $H_1$ di cardinalità 2.
Sia $G_2 = Gal(\frac{Q(\zeta_{19})}{Q}) = U(frac{Z}{19Z}) $ ciclico con 18 elementi. Mi scelgo un sottogruppo $H_2$ di cardinalità 2.
Sia $G_3 = Gal(\frac{Q(\zeta_{109})}{Q}) = U(frac{Z}{109Z}) $ ciclico con 109 elementi. Mi scelgo un sottogruppo $H_3$ di cardinalità 3.
Terzo passo: Ho che:
\(\displaystyle \frac{U(Z /7Z)}{H_1} X \frac{U(Z /19Z)}{H_2} X \frac{U(Z/109Z)}{H_3} = \frac{U(Z_n)}{H} \) .
Primo problema:come trovo questo H? e gli $H_i$ in generale?
Quarto passo: Se H è generato da un $\phi$ , chiamo L il sottocampo fissato da $\phi$ ;allora L è estensione semplice dei razionali,cioè $ L = QQ [ \eta] $ ove $\eta$ è il numero algebrico che stavo cercando.
I miei problemi è che ho questo algoritmo ma non so portarlo a termine,dal secondo passo in poi mi sembra tutto abbastanza oscuro.
1) e 4) purtroppo non ho molte idee..
Caapisco che sonomolte domande e mi scuso per essermi cosi dilungata,spero in un aiuto anche solo in una parte delle mie richieste. Vi ringrazio anticipatamente per la cortese attenzione!
Risposte
1) Il gruppo di Galois del campo di spezzamento di questo polinomio e' $S_4$.
Risolubile! Ma non so cosa vuol dire "trovare" il campo. L'ho trovato
adesso o no? Forse c'e' un errore di stampa nel polinomio?
2) Le radici sono $\alpha+1$, $\alpha^2+1$ e $\alpha^4+1$.
3) Sia $m=81\times7\times19$ e sia $\zeta$ una radice primitiva $m$-esima dell'unita'.
Allora $\alpha=\sum_{x^2 =1} zeta^x$ funziona. Qua $x$ varia fra gli otto
elementi $x\in(\Z\text{/}m\Z)^{\times}$ che soddisfano $x^2=1$ modulo $m$.
4) Suppongo che $p$ sia un numero primo? C'e' un errore di stampa
nel polinomio ciclotomico. La formula per il discriminante e' anche
sbagliata. Deve essere $\pm p^{2p^2-3p}$.
Risolubile! Ma non so cosa vuol dire "trovare" il campo. L'ho trovato
adesso o no? Forse c'e' un errore di stampa nel polinomio?
2) Le radici sono $\alpha+1$, $\alpha^2+1$ e $\alpha^4+1$.
3) Sia $m=81\times7\times19$ e sia $\zeta$ una radice primitiva $m$-esima dell'unita'.
Allora $\alpha=\sum_{x^2 =1} zeta^x$ funziona. Qua $x$ varia fra gli otto
elementi $x\in(\Z\text{/}m\Z)^{\times}$ che soddisfano $x^2=1$ modulo $m$.
4) Suppongo che $p$ sia un numero primo? C'e' un errore di stampa
nel polinomio ciclotomico. La formula per il discriminante e' anche
sbagliata. Deve essere $\pm p^{2p^2-3p}$.
1) Immagino che ciò basti, d'altra parte $S_4$ è risolubile e la sua catena di risoluzione se non sbaglio è
$S_4 supe A_4 supe V supe <(12)(34)> supe <(1)>$ .
Ma alla domanda qual è il campo di spezzamento del poilinomio io gli dico il gr di Galois del polinomio..?
2) Cosa hai fatto per trovarle?
4) anche io facendo i conti ho ottenuto il tuo risultato,forse c'è stato un errore di stampa nell'esercizio..
Ti ringrazio per la risposta!
$S_4 supe A_4 supe V supe <(12)(34)> supe <(1)>$ .
Ma alla domanda qual è il campo di spezzamento del poilinomio io gli dico il gr di Galois del polinomio..?
2) Cosa hai fatto per trovarle?
4) anche io facendo i conti ho ottenuto il tuo risultato,forse c'è stato un errore di stampa nell'esercizio..
Ti ringrazio per la risposta!
Il campo di $8$ elementi consiste negli zeri del polinomio
$x^8-x= x(x-1)(x^3+x+1)(x^3+x^2+1)$.
Se $\alpha$ e' uno zero di $x^3+x^2+1$, e' facile controllare che
$\alpha+1$ e' uno zero di $x^3+x+1$. Gli altri zeri di $x^3+x+1$
sono quindi $\alpha^2+1$ e $\alpha^4+1$
$x^8-x= x(x-1)(x^3+x+1)(x^3+x^2+1)$.
Se $\alpha$ e' uno zero di $x^3+x^2+1$, e' facile controllare che
$\alpha+1$ e' uno zero di $x^3+x+1$. Gli altri zeri di $x^3+x+1$
sono quindi $\alpha^2+1$ e $\alpha^4+1$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo