Problema classi di resto.

[Roberto81]

ciao a tutti sto provando ad svolgere un esercizio sulle classi di resto

es: trovare tutte le classi di resto $[x]120$ tali che $[81]120[x]120=[75]120$

ora più di qualche volta ho visto che si utilizza l'equazione diofantea ma non capisco il perchè?
quindi: $81X+120Y=75$

calcolo il $MCD(81,120)=2$ ma $2$ non divide $75$

ora come posso procedere per risolvere.....?

[Roberto81]

nessuno sa darmi una mano......... grazie!

[gundamrx91-votailprof]

A volte basta un search per risolvere....

http://www.matematicamente.it/forum/classi-di-resto-t71001.html

prego.

[Roberto81]

ho provato con una ricerca ma non mi aveva dato esito comunque:

l'esercizio l'ho svolgo cosi

$[81]120[x]120=[75]120$ imposto l'equazione diofantea e ottengo $81x+120y=75$
ora faccio il $MCD(120,81)=3$

poi esprimo i resti delle divisioni successive con le coppie associate

$r1=a+b*(-q1)≡(1,0)+(0,1)*(-1)=(1,-1)$
$r2=b+r1*(-q2)≡(0,1)+(1,-1)*(-2)=(-2,-3)$
ora divido $75/3=25$
quindi le mie soluzioni $x0=25*3=75 y0=25*(-2)=-50$

ora sostituisco $85*75+120*(-50)=75$
e risulta $75=75$ ma quale classe devo mettere per verificare $[81]120[x]120=[75]120$

[gundamrx91-votailprof]

$[81]_120[x]_120=[75]_120$ e' equivalente a $81x-=75_(mod_120)$
$MCD(81,120)=3$ per cui puoi semplificare la tua equazione dividendo tutto per 3 e ottenendo
l'equazione equivalente $27x-=25_(mod_40)$
da cui devi calcolare l'inverso moltiplicativo per "togliere" quel 27 dalla $x$....

quindi $27x-=1_(mod_40)$ ; $40|27x-1$ ; $27x-1=40k$ ; $27x-40k=1$ che e' verificata per $x=3$ e $k=2$ infatti $27*3-40*2=1$

e quindi il tuo inverso moltiplicativo e' $3$; ora moltiplichi l'equazione per $3$ e ottieni $x-=75_(mod_40)$ che e' equivalente a
$x-=35_(mod_40)$ e come soluzione ha $x=35+40k$

salvo errori.

[Roberto81]

di conseguenza ciò che avevo fatto io non andava bene............ Grazie mille ora provo a capire la soluzione che mi hai dato!

[gundamrx91-votailprof]

di nulla