Problema Calcolo Combinatorio

LS005
Salve dovrei risolvere questo problema. Nonostante riesco a provare una soluzione i miei calcoli risultano errati :D.
Comunque il problema è questo:
Un'organizzazione ha 8 studenti di Matematica, 5 di Informatica e 4 di Fisica. In quanti modi può eleggere un rappresentante un vice e una riserva nei seguenti casi:
1) i 3 devono essere dello stesso tipo - risultato 420

E l'ho risolto con disposizioni semplici di k = 3 elementi in base al numero di studenti per corso cioè:
8*7*6 + 5*4*3 + 4*3*2

Poi questi due casi non riesco a risolvere:
2) almeno uno deve essere di Fisica - risultato 2364
3) il rappresentante o il suo vice devono essere di matematica. - risultato 3000

Che io ho provato a risolvere così:
Punto 2:
4*13*12 + 4*3*13 + 4*3*2

Perchè almeno 1 significa che può starci 1, 2 o massimo 3 di fisica e 13 sono gli studenti di matematica e informatica.
Punto 3:
(8*12*11) * 2

Con 12 il numero di studenti di informatica e fisica. Ho moltiplicato per 2 perchè questo caso può avvenire sia per il vice che per il rappresentante.

Sicuramente il mio modo di ragionare è sbagliato quindi scusate per gli errori :D

Risposte
vict85
Usa quote per il testo e le formule per le altre.

2) Ci può essere un selezionato di fisica, due oppure tre.

Se sono \(\displaystyle 3 \) allora ci sono \(\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2 \) modi per eleggere i rappresentanti.

Se sono due allora possiamo prendere due fisici in ordine e poi scegliere il terzo tra i rimanenti (non di fisica) e moltiplicare per le \(\displaystyle 3 \) postazione che questo può avere. Quindi abbiamo \(\displaystyle 4\cdot 3\cdot 3\cdot 13 \).

Se ce n'é uno è speculare al caso di prima quindi \(\displaystyle 4\cdot 3\cdot 13\cdot 12 \)

La somma sarà quindi \(\displaystyle 4\cdot 3\cdot (2 + 13\cdot (3 + 12)) = 12\cdot (2 + 13\cdot 15) = 12\cdot (2 + 195) = 12\cdot 197 = 2364\)


3) Simile al caso di prima. Ma questa volta le opzioni sono diverse.

Se sono \(\displaystyle 3 \) allora ci sono \(\displaystyle 8\cdot 7\cdot 6 \) modi per eleggere i rappresentanti.

Se sono \(\displaystyle 2 \) allora almeno uno dei due sarà rappresentante o vice. Quindi \(\displaystyle 8\cdot 7\cdot 3\cdot 9 \).

Il caso con un solo di matematica è invece diverso dal caso di prima perché il rappresentante di matematica può avere solo due posizioni e quindi \(\displaystyle 8\cdot 2\cdot 9\cdot 8 \)

La somma sarà quindi \(\displaystyle 8\cdot (7\cdot (6 + 3\cdot 9) + 2\cdot 9\cdot 8) = 8\cdot (7\cdot (6 + 27) + 18\cdot 8) = 8\cdot (7\cdot 33 + 144) = 8\cdot (231 + 144) = 8\cdot 375 = 3000\)

LS005
Grazie mille! Non consideravo il "moltiplicare per le 3 postazione che questo può avere" Grazie ancora ;)
Anche se non capisco perchè nel punto 3 consideri il caso in cui siano tutti e 3 di matematica vista che quelli di matematica possono essere o vice o rappresentante cioè quando fai:
Se sono 3 allora ci sono 8⋅7⋅6 modi per eleggere i rappresentanti.

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