Problema aritmetico

[cart1]

Sia n un numero naturale e definiamo la funzione f(n)=min(k:n^k>=n!).Ad esmpio f(2)=1 f(3)=2...Mi sono chiesto se esiste una espressione esplicita per calcolare questa funzione ma non ci sono riuscito.Sono invece riuscito a dimostrare che sum(n=1..+oo)1/f(n) è divergente.Sapreste aiutarmi sul primo punto o comunque confermare il secondo risultato?
ciao giulio

[Sk_Anonymous]

Forse la mia e' un'idea balorda (da sabato
sera in casa ) ma ecco la mia soluzione:
La formula di Stirling ci dice che e' circa:
n!=(2n)(n/e)^n,quindi per avere k
deve essere:
n^k>=(2n)(n/e)^n e passando ai log.:
k*ln(n)>=ln(2)/2+ln(n)/2+n*ln(n)-n, da cui
per n1,risulta:
f(n)=[(ln(2)/2+ln(n)/2+n*ln(n)-n)/ln(n)]+1
dove le parentesi quadre ,iniziale e finale,indicano
il massimo intero dell'espressione tra esse
contenuta .
karl.

[cart1]

Ciao karl.Io ho usato la formula di stierling per risolvere il mio secondo problema,facendo vedere che per n molto grande il k minimo da cercarsi è circa n e dunque usando il criterio del confronto asintotico per serie,la serie diverge comportandosi come l'armonica con alfa=1.Stieling peò non possiamo usarlo per il primo punto,primo perchè l'approssimazione è buona solo per valori molto grandi e secondo perchè in questo modo abbiamo solo una maggiorazione per il k da cercarsi,ma non il k minimo.Bisognerebbe provare con i primi valori di n,diciamo fino a 20 e farsi un'idea di quello che succede...boh!