Prioprietà di cancellazione nei moniodi

[teo771]

Ciao a tutti, avrei una domanda che per molti di voi potrà essere banale.
In un gruppo la proprietà di cancellazione è facilmente dimostrabile visto che per ogni elemento esiste ed è unico l'inverso.
Ma in un moniode quali sono le condizioni necessarie e sufficienti che permettono di applicare la proprietà di cancellazione?
Esempio: nell'insieme dei numeri naturali N si consideri l'operazione * (che può essere sia la moltiplicazione che la addizione)se a*b=a*c allora b=c. Anche se sembra scontato non capisco una cosa.. per arrivare a scivere b=c devo utilizzare gli elementi inversi ma questi elementi, visto che stò lavorando in un monoide, non appartengono all'insieme N

Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto !!

[TomSawyer1]

A proposito di questo argomento, c'è il Teorema di Simmetrizzazione: se $S=(A,*)$ è un monoide abeliano ad elementi regolari, allora è possibile costruire un monoide $S_1$ il quale:
i) contiene un monoide $S'$ isomordo ad $S$
ii) è tale che ogni suo elemento ammette inverso