[Principio di induzione] spiegazione passaggi

[Licia9]

$\sum_{k=1}^n k^3 = (n^2(n+1)^2)/4$

$\sum_{k=1}^(n+1) k^3 = (\sum_{k=1}^n k^3)+(n+1)^3 = (n^2(n+1)^2)/4 + (n+1)^3$

Potete spiegarmi come si arriva a questo risultato?

$=((n+1)^2(n+2)^2)/4$

Poi sto dimostrando quest'altra
$\sum_{k=1}^(n+1) (2k)^2 = (2n(n+1)(2n+1))/3

$\sum_{k=1}^(n+1) (2k)^2 = (\sum_{k=1}^n (2k)^2)+(2n+1)^2 = (2n(n+1)(2n+1))/3 + (2n+1)^2$
$=(2n(n+1)(2n+1)+ 3(2n+1)^2)/3$

Ma non so continuare.. potete aiutarmi per favore?

[klarence1]

Nel secondo esercizio metti in evidenza $(2n+1)$ e sviluppa, nel primo esercizio metti a denominatore comune e metti in evidenza $(n+1)^2$

[Licia9]

"klarence":Nel secondo esercizio metti in evidenza $(2n+1)$ e sviluppa, nel primo esercizio metti a denominatore comune e metti in evidenza $(n+1)^2$

Grazie.

Ma nel secondo esercizio ho ottenuto

$=((2n+1)2n(n+1)+3(2n+1))/3 = ((2n+1)2n^2+8n+6)/3$

Dove ho sbagliato?

[klarence1]

"Licia9":
Poi sto dimostrando quest'altra
$\sum_{k=1}^(n+1) (2k)^2 = (2n(n+1)(2n+1))/3

$\sum_{k=1}^(n+1) (2k)^2 = (\sum_{k=1}^n (2k)^2)+(2n+1)^2 = (2n(n+1)(2n+1))/3 + (2n+1)^2$
$=(2n(n+1)(2n+1)+ 3(2n+1)^2)/3$

Ma non so continuare.. potete aiutarmi per favore?

In questo esercizio c'è qualcosa che non va...
Infatti vale la formula

$\sum_{k=1}^(n) (2k)^2 = (2n(n+1)(2n+1))/3

Quindi per dimostrare che vale per $n+1$ devi dimostrare che vale la formula

$\sum_{k=1}^(n+1) (2k)^2 = (2(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1))/3=(2(n+1)(n+2)(2n+3))/3

ora procedi analogamente a prima... (sai la foruma per n e aggiungici $(2(n+1))^2$ e non $(2n+1)^2$, perchè ci devi aggiungere l' n+1-esimo numero pari).

[Licia9]

"klarence":[quote="Licia9"]
Poi sto dimostrando quest'altra
$\sum_{k=1}^(n+1) (2k)^2 = (2n(n+1)(2n+1))/3

$\sum_{k=1}^(n+1) (2k)^2 = (\sum_{k=1}^n (2k)^2)+(2n+1)^2 = (2n(n+1)(2n+1))/3 + (2n+1)^2$
$=(2n(n+1)(2n+1)+ 3(2n+1)^2)/3$

Ma non so continuare.. potete aiutarmi per favore?

In questo esercizio c'è qualcosa che non va...
Infatti vale la formula

$\sum_{k=1}^(n) (2k)^2 = (2n(n+1)(2n+1))/3

Quindi per dimostrare che vale per $n+1$ devi dimostrare che vale la formula

$\sum_{k=1}^(n+1) (2k)^2 = (2(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1))/3=(2(n+1)(n+2)(2n+3))/3

ora procedi analogamente a prima... (sai la foruma per n e aggiungici $(2(n+1))^2$ e non $(2n+1)^2$, perchè ci devi aggiungere l' n+1-esimo numero pari).[/quote]

ottengo

$=(2n(n+1)(2n+1)+3(2(n+1))^2)/3$

Sembra uguale a prima..

[klarence1]

Questa volta metti in evidenza al numeratore $2(n+1)$ e vedrai che non viene come prima.

[Licia9]

"klarence":Questa volta metti in evidenza al numeratore $2(n+1)$ e vedrai che non viene come prima.

Ho ottenuto

$=(2(n+1)n(2n+1)+3(2n+2))/3$

è giusto?

[klarence1]

"Licia9":
$=(2(n+1){n(2n+1)+3(2n+2)})/3$

Si è giusto, ma ci mancano le parentesi... nel quote dove mancano le parentesi ti ho messo le parentesi graffe.
Sviluppi il prodotto dentro le parentesi graffe e con qualche manovra algebrica ottieni la formula.

[Licia9]

"klarence":[quote="Licia9"]
$=(2(n+1){n(2n+1)+3(2n+2)})/3$

Si è giusto, ma ci mancano le parentesi... nel quote dove mancano le parentesi ti ho messo le parentesi graffe.
Sviluppi il prodotto dentro le parentesi graffe e con qualche manovra algebrica ottieni la formula.[/quote]


$=(2(n+1)(2n^2+7n+6))/3 = (2(n+1)(2n^2+4n+3n+6))/3 = (2(n+1)2n(n+2)+3(n+2))/3 = (2(n+1)(n+2)(2n+3))/3 $

Grazie dell'aiuto

[klarence1]

Di nulla. Attenta alle parentesi dei passaggi intermedi però.