Principio di induzione molti dubbi...
Salve vorrei capire il funzionamento del principio di induzione.
Ci ho passato sopra diverse ore e ancora non riesco a risolvere mezzo esercizio. In particolare è il passo di induzione che non mi è chiaro.
Ho capito che data una qualsiasi "ipotesi" il principio di induzione viene usato per dimostrare che quell'ipotesi sia reale per qualsiasi n numero.
Ora porto un esempio cosichhè possiate capire i miei errori:
1) per ogni n>=1 7 divide $ 2^({3n})-1$
step 1 dimostro: (n=1) $7/(2^3-1)=1$
step 2 passo di induzione (e qui iniziano i problemi)
per prima cosa io trasformo sempre le n in n+1 quindi: $(2^{3(n+1)}-1)$
poi in questo caso moltiplicherei il 3 con n+1 quindi: $(2^{(3n+3)}-1)$
poi l'unica cosa che mi verrebbe da fare sarebbe utilizzare le proprietà delle potenze: $(2^{(3n})*2^3-1)$
Da qui non saprei che fare...
Ci ho passato sopra diverse ore e ancora non riesco a risolvere mezzo esercizio. In particolare è il passo di induzione che non mi è chiaro.
Ho capito che data una qualsiasi "ipotesi" il principio di induzione viene usato per dimostrare che quell'ipotesi sia reale per qualsiasi n numero.
Ora porto un esempio cosichhè possiate capire i miei errori:
1) per ogni n>=1 7 divide $ 2^({3n})-1$
step 1 dimostro: (n=1) $7/(2^3-1)=1$
step 2 passo di induzione (e qui iniziano i problemi)
per prima cosa io trasformo sempre le n in n+1 quindi: $(2^{3(n+1)}-1)$
poi in questo caso moltiplicherei il 3 con n+1 quindi: $(2^{(3n+3)}-1)$
poi l'unica cosa che mi verrebbe da fare sarebbe utilizzare le proprietà delle potenze: $(2^{(3n})*2^3-1)$
Da qui non saprei che fare...
Risposte
"Anonimamente22":
step 1 dimostro: ($n=1$) $ 7/(2^3-1)=1 $
Casomai $ (2^3-1)/7=1 $
Non esiste un metodo unico per dimostrare tramite PIM, il principio va usato con sagacia.
In questo caso il passo induttivo è: supposto per ipotesi che esista $n$ tale che $7$ divida $2^(3n)-1$ allora vogliamo dimostrare che anche $2^(3(n+1))-1$ è divisibile per $7$
Come detto, non esiste un metodo universale, ci si deve ragionare un po' su ...
In questo caso $2^(3(n+1))-1=2^(3n+3)-1=2^3*2^(3n)-1=(7+1)*2^(3n)-1=[7*2^(3n)]+[2^(3n)-1]$
Entrambi gli addendi sono divisibili per $7$ (il primo perché multiplo di sette e il secondo per ipotesi induttiva) quindi ecco dimostrato il passo induttivo.
Cordialmente, Alex
In questo caso il passo induttivo è: supposto per ipotesi che esista $n$ tale che $7$ divida $2^(3n)-1$ allora vogliamo dimostrare che anche $2^(3(n+1))-1$ è divisibile per $7$
Come detto, non esiste un metodo universale, ci si deve ragionare un po' su ...
In questo caso $2^(3(n+1))-1=2^(3n+3)-1=2^3*2^(3n)-1=(7+1)*2^(3n)-1=[7*2^(3n)]+[2^(3n)-1]$
Entrambi gli addendi sono divisibili per $7$ (il primo perché multiplo di sette e il secondo per ipotesi induttiva) quindi ecco dimostrato il passo induttivo.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Non esiste un metodo unico per dimostrare tramite PIM, il principio va usato con sagacia.
In questo caso il passo induttivo è: supposto per ipotesi che esista $n$ tale che $7$ divida $2^(3n)-1$ allora vogliamo dimostrare che anche $2^(3(n+1))-1$ è divisibile per $7$
Come detto, non esiste un metodo universale, ci si deve ragionare un po' su ...
In questo caso $2^(3(n+1))-1=2^(3n+3)-1=2^3*2^(3n)-1=(7+1)*2^(3n)-1=[7*2^(3n)]+[2^(3n)-1]$
Entrambi gli addendi sono divisibili per $7$ (il primo perché multiplo di sette e il secondo per ipotesi induttiva) quindi ecco dimostrato il passo induttivo.
Cordialmente, Alex
Grazie mille per la risposta ma non mi sono ben chiare le manipolazioni da te effettuate:
$=(7+1)*2^(3n)-1=$ che fine ha fatto qui il 2 elevato alla terza? e perchè è stato aggiunto 7+1?
$=[7*2^(3n)]+[2^(3n)-1]$ Qui non ho proprio capito cosa è stato fatto...
Non rispondere citando, usa il tasto "RISPONDI"
$2^3=8=7+1$
$(7+1)*2^(3n)-1=7*2^(3n)+1*2^(3n)-1$
Poi ho messo le quadre per evidenziare i due addendi ...
Ok?
$2^3=8=7+1$
$(7+1)*2^(3n)-1=7*2^(3n)+1*2^(3n)-1$
Poi ho messo le quadre per evidenziare i due addendi ...
Ok?
"Anonimamente22":
Salve vorrei capire il funzionamento del principio di induzione.
Ci ho passato sopra diverse ore e ancora non riesco a risolvere mezzo esercizio.
Ti consiglio di leggere i miei due post qui.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo