Principio di induzione... Aiuto!!!

[Betta110]

ciao, ho un grossissimo problema con il principio di induzione...
Non ho ancora ben capito come si applica...
per cortesia qualcuno potrebbe aiutarmi...
ho un esame molto molto vicino...
AIUTOOOO!!!!!

[jack110]

da quello che so il principio di induzione si applica più o meno così:
devi dimostrare che una certa proprietà matematica vale per tutti i numeri; allora tu supponi che questa proprietà valga innanzitutto per i primi n numeri, poi verifichi che la proprietà vale anche per l' (n+1)-esimo numero, e poichè tu non hai specificato quale sia n, allora la proprietà vale per tutti i numeri...
un particolare fondamentale di questo principio, è che la proprietà in questione valga anche per 0...quindi in definitiva il principio di induzione lo si applica in questo modo:si dimostra che la proprietà vale per 0, si ipotizza che valga per i sucdessivi n numeri, e se vale anche per l' n+1-esimo numero allora vale per tutti i numeri
ti faccio un esempio che chiarisce il concetto...
dobbiamo dimostrare che la somma dei primi n numeri interi è n*(n+1)/2; sicuramente questa formula vale quando n=0,supponiamo ora che questa proprietà valga per n numeri...vediamo se vale anche per l' (n+1)-esimo numero: la somma dei primi n+1 numeri vale
n*(n+1)/2 + n+1 cioè
[n*(n+1) + 2*(n+1)]/2 cioè
(n+1)*(n+2)/2 ovvero
(n+1)*(n+1 +1)/2 e questa è la nostra formula di partenza,solo che al posto di n abbiamo n+1...adesso, poichè non abbiamo specificato n, allora la proprietà vale per tutti i numeri (naturali)...

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by Betta

ciao, ho un grossissimo problema con il principio di induzione...
Non ho ancora ben capito come si applica...
per cortesia qualcuno potrebbe aiutarmi...
ho un esame molto molto vicino...
AIUTOOOO!!!!!

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Se P(n) esprime il fatto che il numero naturale n gode della proprietà P, e riesci a dimostrare che:
P(k) è vera per qualche k>=0
Per ogni n>=k, se P(n) è vera allora P(n+1) è vera

Allora tutti i numeri naturali n>=k godono della proprietà P.

Ad esempio:

se P(n) esprime la proprietà che Somma{i=1,n}i=n(n+1)/2
P(1) è vera da 1(2)/2=1
Se supponi vera P(n), allora considerando P(n+1) hai che Somma{i=0,n+1}i=(n+1)+Somma{i=1,n}i=n+1+n(n+1)/2=(n+2)(n+1)/2 quindi è vera P(n+1).

Segue che per ogni intero n>=1 si ha che Somma{i=1,n}i=n(n+1)/2.


Ciao
Mistral

PS se vuoi vedere se hai capito prova a dimostrare che:
Somma{i=1,n}i(i+1)/2=n(n+1)(n+2)/6 per n>=1.

[Betta110]

vi ringrazio tantissimo!!!