Principio di induzione

[vikthor1]

Ragazzi questo è l'esercizio di un vecchio esame del mio prof, e dice : Stabilire per quali numeri naturali si ha $2^n
1) Questa uguaglianza si ottiene con tutti i numeri $n>=4$ ; ponendo $n=4$ avremo $2^4<4! = 16<24 $

2) $S(n+1)=2^(n+1)<(n+1)!$ Qui come svolgo ??

[axpgn]

L'ipotesi induttiva è $2^n
Ora, partendo dall'ipotesi abbiamo $2^n\ 2*2^n<2*(n!)$ ma sappiamo che per ogni $n>=4$ è $2*(n!)<(n+1)*(n!)$ quindi $2*2^n<(n+1)*(n!)$ ovvero $2^(n+1)<(n+1)!$

Dovresti sforzarti un po' di più ...

Cordialmente, Alex

[vikthor1]

"axpgn":L'ipotesi induttiva è $2^n
Ora, partendo dall'ipotesi abbiamo $2^n\ 2*2^n<2*(n!)$ ma sappiamo che per ogni $n>=4$ è $2*(n!)<(n+1)*(n!)$ quindi $2*2^n<(n+1)*(n!)$ ovvero $2^(n+1)<(n+1)!$

Dovresti sforzarti un po' di più ...

Cordialmente, Alex

Non ho capito bene i tuoi passaggi..

[axpgn]

Quale non ti convince ?

[vikthor1]

"vikthor":[quote="axpgn"]L'ipotesi induttiva è $2^n
Ora, partendo dall'ipotesi abbiamo $2^n\ 2*2^n<2*(n!)$ ma sappiamo che per ogni $n>=4$ è $2*(n!)<(n+1)*(n!)$ quindi $2*2^n<(n+1)*(n!)$ ovvero $2^(n+1)<(n+1)!$

Dovresti sforzarti un po' di più ...

Cordialmente, Alex

Non ho capito bene i tuoi passaggi..[/quote]

Allora il mio primo punto è giusto ?

Poi $2^n\ 2*2^n<2*(n!)$ qui hai moltiplicato per due , perchè ?
$2*(n!)<(n+1)*(n!)$ perchè qua esce $(n!)$ a sinistra ed $(n+1)$ a destra?

[axpgn]

Se per primo punto intendi il passo base è ovvio che sì ...

Ho moltiplicato per due la disequazione in ipotesi perché ... mi serve ... non è una battuta, il fatto è che non esiste un metodo di dimostrazione, bisogna pensarci ...
Nel nostro caso ho moltiplicato per due in modo da ottenere a sinistra il membro sinistro della tesi, così ora mi rimane da dimostrare che $2*(n!)<(n+1)!$ ... ora dovresti sapere che $(n+1)!\ =(n!)*(n+1)$ per cui abbiamo $2*(n!)<(n+1)*(n!)$ che evidentemente è sempre vera per $n>=4$