Principio di induzione
Nuovamente salve a tutti,
sto svolgendo questo tipo di esercizio:
Dimostrare che per ogni intero n ≥ 0 vale: $ 1+5+5^2+5^3+...+5^n=(5^n+1 -1) /4 $
Dopo aver letto molto riguardante il principio di induzione, non riesco a svolgere l'esercizio.
Ho fatto il passo base, ma dopo sono totalmente bloccato, non riuscendo a capire come svolgerlo e quindi andare avanti
sto svolgendo questo tipo di esercizio:
Dimostrare che per ogni intero n ≥ 0 vale: $ 1+5+5^2+5^3+...+5^n=(5^n+1 -1) /4 $
Dopo aver letto molto riguardante il principio di induzione, non riesco a svolgere l'esercizio.
Ho fatto il passo base, ma dopo sono totalmente bloccato, non riuscendo a capire come svolgerlo e quindi andare avanti
Risposte
Immagino tu intendessi: \(\displaystyle \frac{5^{n+1}-1}{4} \). La dimostrazione è immagino simile a \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} 2^{k} = 2^{n+1}-1 \).
Quello che devi fare è:
[list=1][*:16msvgot] Caso generale: ovvero verificare che \(\displaystyle 1 = \frac{5^{n+1}-1}{4} \).[/*:m:16msvgot]
[*:16msvgot] Passo induttivo: dimostrare che se si ha \(\displaystyle \sum_{k=0}^{N} 5^{k} = \frac{5^{N+1}-1}{4} \) per un qualche \(\displaystyle N \) fissato, allora \(\displaystyle \sum_{k=0}^{N+1} 5^{k} = \frac{5^{N+2}-1}{4} \).[/*:m:16msvgot]
[*:16msvgot] Conclusione: unire i due passi precedenti per ricavare il per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N} \). [/*:m:16msvgot][/list:o:16msvgot]
Per il passo due basta usare il fatto che \(\displaystyle \sum_{k=0}^{N+1} 5^{k} = 5^{N+1} + \sum_{k=0}^{N} 5^{k} \).
EDIT: correzione dell'errore
Quello che devi fare è:
[list=1][*:16msvgot] Caso generale: ovvero verificare che \(\displaystyle 1 = \frac{5^{n+1}-1}{4} \).[/*:m:16msvgot]
[*:16msvgot] Passo induttivo: dimostrare che se si ha \(\displaystyle \sum_{k=0}^{N} 5^{k} = \frac{5^{N+1}-1}{4} \) per un qualche \(\displaystyle N \) fissato, allora \(\displaystyle \sum_{k=0}^{N+1} 5^{k} = \frac{5^{N+2}-1}{4} \).[/*:m:16msvgot]
[*:16msvgot] Conclusione: unire i due passi precedenti per ricavare il per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N} \). [/*:m:16msvgot][/list:o:16msvgot]
Per il passo due basta usare il fatto che \(\displaystyle \sum_{k=0}^{N+1} 5^{k} = 5^{N+1} + \sum_{k=0}^{N} 5^{k} \).
EDIT: correzione dell'errore
Ok fino a qui c'ero arrivato, il mio problema è proprio la dimostrazione
P.S. spero che scrivendo $2^k$ tu volessi scrivere $5^k$ altrimenti sono confuso :/
P.S. spero che scrivendo $2^k$ tu volessi scrivere $5^k$ altrimenti sono confuso :/
"Shiony":
Ok fino a qui c'ero arrivato, il mio problema è proprio la dimostrazione
P.S. spero che scrivendo $2^k$ tu volessi scrivere $5^k$ altrimenti sono confuso :/
Si scusa, ho fatto copia incolla.
Ho praticamente scritto già tutto, manca un solo passaggio.
Stavo per entrare in depressione dopo aver visto quel $2^k$ xD, comunque come ho detto sopra il problema lo trovo nel dimostrare il passo induttivo
$\sum_{k=0}^N 5^k=(5^(N+1)-1)/4$
$5^(N+1)+\sum_{k=0}^N 5^k=(5^(N+1)-1)/4+5^(N+1)$
$\sum_{k=0}^(N+1) 5^k=(5^(N+1)-1+4*5^(N+1))/4=(5*5^(N+1)-1)/4=(5^(N+2)-1)/4$
$5^(N+1)+\sum_{k=0}^N 5^k=(5^(N+1)-1)/4+5^(N+1)$
$\sum_{k=0}^(N+1) 5^k=(5^(N+1)-1+4*5^(N+1))/4=(5*5^(N+1)-1)/4=(5^(N+2)-1)/4$
Protesti chiarirmi l'ultimo passaggio, cioè come : $ (5^(N+1) - 1 + 4 * 5^(N+1))/4 $ diventa $ (5 * 5^(N+1) - 1)/4 $ ?
...sono stato di poche parole perché mi si è interrotto il collegamento x guasto tecnico 
nell'ultimo passaggio ho semplicemente messo in evidenza $5^(N+1)$ come fosse 4a+1a=5a, visto che nel nostro caso $a=5^(N+1)$ si arriva ad $5^(N+2)$
...scritto sembra complicato
nell'ultimo passaggio ho semplicemente messo in evidenza $5^(N+1)$ come fosse 4a+1a=5a, visto che nel nostro caso $a=5^(N+1)$ si arriva ad $5^(N+2)$
...scritto sembra complicato
Tranquillo ora che me l'hai spiegato non è per niente complicato. Grazie per l'aiuto, adesso sto svolgendo un altro esercizio dello stesso tipo, vediamo se riesco a farlo da solo 
Sto svolgendo: $n^3 - n + 6 $ deve essere divisibile per 3, ho fatto il passo base, adesso nel passo induttivo sono arrivato a :
$ n^3 + 3n^2 + 2n + 6 $, perchè dopo aver sostituito n con n+1 ho svolto l'elevazione al cubo, ora il meccanismo che voglio capire è, come fare una volta arrivati a questo punto a dire che l'ipotesi è giusta
Ho formulato un ipotesi, dimmi se è giusta, poichè abbiamo dimostrato che $n^3 - n + 6 $ allora $ n^3 + 2n + 6 $ è divisibile perchè è come l'equazione iniziale solo che al posto di $-n$ c'è $2n$ che comunque dovrebbe essere ininfluente poichè è il doppio di una qualsiasi n, e la parte mancante $3n^2$ poichè essendo una qualunque n elevata al quadrato, essendo che viene moltiplicata per 3, sarà sempre divisibile per 3.
Ditemi se quello che ho ipotizzato è corretto o solo una grande stupidaggine
$ n^3 + 3n^2 + 2n + 6 $, perchè dopo aver sostituito n con n+1 ho svolto l'elevazione al cubo, ora il meccanismo che voglio capire è, come fare una volta arrivati a questo punto a dire che l'ipotesi è giusta
Ho formulato un ipotesi, dimmi se è giusta, poichè abbiamo dimostrato che $n^3 - n + 6 $ allora $ n^3 + 2n + 6 $ è divisibile perchè è come l'equazione iniziale solo che al posto di $-n$ c'è $2n$ che comunque dovrebbe essere ininfluente poichè è il doppio di una qualsiasi n, e la parte mancante $3n^2$ poichè essendo una qualunque n elevata al quadrato, essendo che viene moltiplicata per 3, sarà sempre divisibile per 3.
Ditemi se quello che ho ipotizzato è corretto o solo una grande stupidaggine
Ho capito poco ma forse volevi dire che $n^3+3n^2+2n+6$ può essere riscritto come $(n^3-n+6)+3n^2+3n$ ...
Da questa espressione è evidente che gli ultimi due termini sono divisibili per $3$ mentre l'espressione tra parentesi è divisibile per $3$ per ipotesi induttiva ... right?
Cordialmente, Alex
Da questa espressione è evidente che gli ultimi due termini sono divisibili per $3$ mentre l'espressione tra parentesi è divisibile per $3$ per ipotesi induttiva ... right?
Cordialmente, Alex
Scusami per la mancanza di chiarezza comunque si i concetto era quello
Sono perplesso, forse sarebbe meglio se ci scrivessi il testo completo del problema...
magari sono un po' fuori allenamento,
ma affinché $n^3-n+6$ sia divisibile per 3 (sui numeri interi Z)
non si richiede che lo siano tutti gli addendi?
E se così è, cioè se $n$ è divisibile per 3, come fa ad esserlo anche $n+1$?
Mi sta sfuggendo qualcosa o qualcosa non è chiaro?
magari sono un po' fuori allenamento,
ma affinché $n^3-n+6$ sia divisibile per 3 (sui numeri interi Z)
non si richiede che lo siano tutti gli addendi?
E se così è, cioè se $n$ è divisibile per 3, come fa ad esserlo anche $n+1$?
Mi sta sfuggendo qualcosa o qualcosa non è chiaro?
Non deve dimostrare che $n$ intero è sempre divisibile per tre ma che lo è $n^3-n+6$ ... almeno questo è quello che ho inteso io ...
"axpgn":
Non deve dimostrare che $n$ intero è sempre divisibile per tre ma che lo è $n^3-n+6$ ... almeno questo è quello che ho inteso io ...
Ok!
Quindi tutto risolto!
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