Principio di Inclusione/Esclusione
Ho bisogno di aiuto.. Mi ritrovo dopo anni ad affrontare un esame di matematica discreta, questo è un esempio di un possibile compito di esame, ma nn capisco come risolverlo, qualche indizio??
IL testo dice dato l’insieme Ω ed i sottoinsiemi A1, A2, A3 ⊆ Ω.
Sapendo che |Ω|=50, |A1|=10, |A2|=8, |A3|=9, |A2 ∩ A3|=5,
|A1 ∩ A2c ∩ A3|= 3,|A1 ∩ A2 ∩ A3c |= 2, |A1 ∩ A2 ∩ A3 |= 2, si calcoli la cardinalità:
|Ω - A1 ∪ A2 ∪ A3|
Per la formula di Da Silva avrò:
|A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1|+|A2|+|A3|-|A1∩A2|-|A1∩A3|-|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|
ma ora come determino |A1∩A2|-|A1∩A3| ?? Le c indicano il complementare ma nn capisco come utilizzare questi dati:
|A1 ∩ A2c ∩ A3|= 3,|A1 ∩ A2 ∩ A3c |
Spero tanto in un vostro gentile aiuto..
[/code][/chessgame][/chesspos][/asvg]
IL testo dice dato l’insieme Ω ed i sottoinsiemi A1, A2, A3 ⊆ Ω.
Sapendo che |Ω|=50, |A1|=10, |A2|=8, |A3|=9, |A2 ∩ A3|=5,
|A1 ∩ A2c ∩ A3|= 3,|A1 ∩ A2 ∩ A3c |= 2, |A1 ∩ A2 ∩ A3 |= 2, si calcoli la cardinalità:
|Ω - A1 ∪ A2 ∪ A3|
Per la formula di Da Silva avrò:
|A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1|+|A2|+|A3|-|A1∩A2|-|A1∩A3|-|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|
ma ora come determino |A1∩A2|-|A1∩A3| ?? Le c indicano il complementare ma nn capisco come utilizzare questi dati:
|A1 ∩ A2c ∩ A3|= 3,|A1 ∩ A2 ∩ A3c |
Spero tanto in un vostro gentile aiuto..
[/code][/chessgame][/chesspos][/asvg]
Risposte
benvenuto/a nel forum.
l'insieme $Omega$ va considerato diviso in 8 parti disgiunte (non dico che è una partizione perché non è escluso che qualcuna di queste parti sia vuota), quindi devi partire dai dati che sono le cardinalità di intersezione di 3 insiemi: ti conviene rappresentare graficamente i 4 insiemi.
ottieni nell'ordine (o quasi):
$|A_1nnbarA_2nnA_3|=3, |A_1nnA_2nnbarA_3|=2, |A_1nnA_2nnA_3|=2$
$|barA_1nnA_2nnA_3|=3, |A_1nnbarA_2nnbarA_3|=3, |barA_1nnA_2nnbarA_3|=1, |barA_1nnbarA_2nnA_3|=1$
$|A_1uuA_2uuA_3|=15, |Omega-(A_1uuA_2uuA_3)|=|barA_1nnbarA_2nnbarA_3|=35$
spero sia chiaro. ciao.
l'insieme $Omega$ va considerato diviso in 8 parti disgiunte (non dico che è una partizione perché non è escluso che qualcuna di queste parti sia vuota), quindi devi partire dai dati che sono le cardinalità di intersezione di 3 insiemi: ti conviene rappresentare graficamente i 4 insiemi.
ottieni nell'ordine (o quasi):
$|A_1nnbarA_2nnA_3|=3, |A_1nnA_2nnbarA_3|=2, |A_1nnA_2nnA_3|=2$
$|barA_1nnA_2nnA_3|=3, |A_1nnbarA_2nnbarA_3|=3, |barA_1nnA_2nnbarA_3|=1, |barA_1nnbarA_2nnA_3|=1$
$|A_1uuA_2uuA_3|=15, |Omega-(A_1uuA_2uuA_3)|=|barA_1nnbarA_2nnbarA_3|=35$
spero sia chiaro. ciao.
Grazie 1000 per la risposta, ma avrei delle domande..
Come mai Ω va considerato diviso in 8 parti?
E come calcoli le varie intersezioni?? Ad esempio |A1 ∩ A2c ∩ A3c|= 3 ?? e perchè devo partire da dati che sono le cardinalità di intersezione di 3 insiemi?
Più che altro vorrei sapere ma che proprietà devo usare?? Devo risolvere problemi del genere graficamente, o esistono principi applicabili?'
Ti sarei grato se mi spiegassi meglio alcune passaggi, grazie ancora per la gentile risposta.
Come mai Ω va considerato diviso in 8 parti?
E come calcoli le varie intersezioni?? Ad esempio |A1 ∩ A2c ∩ A3c|= 3 ?? e perchè devo partire da dati che sono le cardinalità di intersezione di 3 insiemi?
Più che altro vorrei sapere ma che proprietà devo usare?? Devo risolvere problemi del genere graficamente, o esistono principi applicabili?'
Ti sarei grato se mi spiegassi meglio alcune passaggi, grazie ancora per la gentile risposta.
prego.
il grafico è utile per visualizzare le parti disgiunte (che sono 2 elevato il numero degli insiemi, anche se con tre insiemi base funziona bene la rappresentazione grafica, con più insiemi temo sia tragica...).
gli otto insiemi disgiunti sono appunto le intersezioni fra tre insiemi (gli insiemi base o i complementari), dunque avrai {(A1 oppure A1c) intersezione (A2 oppure A2c) intersezione (A3 oppure A3c)}, che sono 2*2*2=8 insiemi distinti.
rappresenta graficamente un rettangolo ($Omega$), con tre cerchi all'interno che si intersecano sia a due a due sia tutt'e tre e che non siano uno sottoinsieme dell'altro.
tanto per capirci, $A_1nnA_2$ è formato da due parti disgiunte che sono $A_1nnA_2nnA_3$ e $A_1nnA_2nnbarA_3$, mentre $A_1$ è formato da quattro insiemi disgiunti:
$A_1nnA_2nnA_3$, $A_1nnA_2nnbarA_3$, $A_1nnbarA_2nnA_3$, $A_1nnbarA_2nnbarA_3$.
dunque i termini della seconda riga del messaggio precedente sono stati ottenuti da una semplice sottrazione, mentre in terza riga la cardinalità dell'unione è stata ottenuta sommando le sette cardinalità delle parti disgiunte (o anche 10, cardinalità di A1, con le rimanenti tre parti di cardinalità 3,1,1).
spero sia chiaro. ciao.
il grafico è utile per visualizzare le parti disgiunte (che sono 2 elevato il numero degli insiemi, anche se con tre insiemi base funziona bene la rappresentazione grafica, con più insiemi temo sia tragica...).
gli otto insiemi disgiunti sono appunto le intersezioni fra tre insiemi (gli insiemi base o i complementari), dunque avrai {(A1 oppure A1c) intersezione (A2 oppure A2c) intersezione (A3 oppure A3c)}, che sono 2*2*2=8 insiemi distinti.
rappresenta graficamente un rettangolo ($Omega$), con tre cerchi all'interno che si intersecano sia a due a due sia tutt'e tre e che non siano uno sottoinsieme dell'altro.
tanto per capirci, $A_1nnA_2$ è formato da due parti disgiunte che sono $A_1nnA_2nnA_3$ e $A_1nnA_2nnbarA_3$, mentre $A_1$ è formato da quattro insiemi disgiunti:
$A_1nnA_2nnA_3$, $A_1nnA_2nnbarA_3$, $A_1nnbarA_2nnA_3$, $A_1nnbarA_2nnbarA_3$.
dunque i termini della seconda riga del messaggio precedente sono stati ottenuti da una semplice sottrazione, mentre in terza riga la cardinalità dell'unione è stata ottenuta sommando le sette cardinalità delle parti disgiunte (o anche 10, cardinalità di A1, con le rimanenti tre parti di cardinalità 3,1,1).
spero sia chiaro. ciao.
Chiarissimo, grazie per la pazienza!
Ottima spiegazione.
Grazie ancora
Ottima spiegazione.
Grazie ancora
prego! grazie a te dei complimenti... prosit!
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