Principio della somma
Salve a tutti,
tenendo presente il seguente principio della sooma $|AUUB| = n+m = |A|+|B|$ (almeno questo ho trovato su internet)
Qualcuno sa come si dimostra? La dimostrazione che ho io tra gli appunti è un po contorta e non riesco a dargli un senso pratico:
$|AuuB| + |AnnB| =$
$|Auu(B \\ A)| + |AnnB|=$
$|A| + |B \\ A| + |AnnB|=$
$|A|+|(B-A)uu(AnnB)|=$
$|A|+|B|$
A me pare poco logico, come premessa dice anche che $A,B$ disgiunti, quindi non hanno elementi incomune perchè allora mette in mezzo l'intersezione? cioè conta a doppio gli elementi ripetuti? (ovvero che sono presenti sia in A che in B) ? non so non riesco proprio a spiegarmela.
tenendo presente il seguente principio della sooma $|AUUB| = n+m = |A|+|B|$ (almeno questo ho trovato su internet)
Qualcuno sa come si dimostra? La dimostrazione che ho io tra gli appunti è un po contorta e non riesco a dargli un senso pratico:
$|AuuB| + |AnnB| =$
$|Auu(B \\ A)| + |AnnB|=$
$|A| + |B \\ A| + |AnnB|=$
$|A|+|(B-A)uu(AnnB)|=$
$|A|+|B|$
A me pare poco logico, come premessa dice anche che $A,B$ disgiunti, quindi non hanno elementi incomune perchè allora mette in mezzo l'intersezione? cioè conta a doppio gli elementi ripetuti? (ovvero che sono presenti sia in A che in B) ? non so non riesco proprio a spiegarmela.
Risposte
Il fatto che viene ripetutamente usato nella dimostrazione è che se $A$ e $B$ sono due insiemi finiti disgiunti allora $|A uu B|=|A|+|B|$. Questa, per come la conosco io, è la definizione di somma di due cardinalità finite.
Quello che dimostri con quella sequenza di passaggi è che se $A$ e $B$ sono due insiemi finiti non necessariamente disgiunti allora $|A|+|B| = |A uu B|+|A nn B|$.
Quello che dimostri con quella sequenza di passaggi è che se $A$ e $B$ sono due insiemi finiti non necessariamente disgiunti allora $|A|+|B| = |A uu B|+|A nn B|$.
"Neptune":
Salve a tutti,
tenendo presente il seguente principio della sooma $|AUUB| = n+m = |A|+|B|$ (almeno questo ho trovato su internet)
Qualcuno sa come si dimostra? La dimostrazione che ho io tra gli appunti è un po contorta e non riesco a dargli un senso pratico:
$|AuuB| + |AnnB| =$
$|Auu(B \\ A)| + |AnnB|=$
$|A| + |B \\ A| + |AnnB|=$
$|A|+|(B-A)uu(AnnB)|=$
$|A|+|B|$
A me pare poco logico, come premessa dice anche che $A,B$ disgiunti, quindi non hanno elementi incomune perchè allora mette in mezzo l'intersezione? cioè conta a doppio gli elementi ripetuti? (ovvero che sono presenti sia in A che in B) ? non so non riesco proprio a spiegarmela.
Direi che hai le idee un po' confuse.
Allora se hai 2 insieme disgiunti A e B allora si ha che $|AuuB|=|A|+|B|$
Ciò che devi dimostrare tu (usando il fatto che ho appena citato) è che:
se A e B non sono disgiunti, allora $|AuuB|=|A|+|B|-|AnnB|$
Prova a rivedere ora la dimostrazione e capirai perchè fa quelle operazioni
Ma se sono disgiunti, e non semplicemente distinti, l'intersezione non è vuota?
E quindi non è inutile sottrarre $|AnnB|$ ?
Avrei capito se non erano disgiunti, ma cosi non riesco davvero a capirlo il perchè.
E quindi non è inutile sottrarre $|AnnB|$ ?
Avrei capito se non erano disgiunti, ma cosi non riesco davvero a capirlo il perchè.
"Neptune":
Ma se sono disgiunti, e non semplicemente distinti, l'intersezione non è vuota?
E quindi non è inutile sottrarre $|AnnB|$ ?
Avrei capito se non erano disgiunti, ma cosi non riesco davvero a capirlo il perchè.
Ma hai letto quello che ho scritto??
Rileggi bene
"Neptune":Non sono disgiunti.
Ma se sono disgiunti, e non semplicemente distinti, l'intersezione non è vuota?
E quindi non è inutile sottrarre $|AnnB|$ ?
ma se sono congiunti allora, nel sommare l'intersezzione oltre all'unione, cosa fa? conta piu volte lo stesso elemento perchè "appartiene sia ad A che a B"?
Voglio dire un insieme $A={a,b,c}$ sommato ad un insieme $B={c,d,e}$ sono entrambi di cardinalità $3$ ma $c$ è presente sia in $A$ che in $B$. Si sommano comunque semplicemente le loro cardinalità e quindi si ha $6$ e per questo si somma all'unione anche gli elementi in comune, no?
Ma quindi io sugli appunti c'ho scritto chiaro e tondo "siano A,B disgiunti" sarà un errore? forse voleva dire distinti?
Voglio dire un insieme $A={a,b,c}$ sommato ad un insieme $B={c,d,e}$ sono entrambi di cardinalità $3$ ma $c$ è presente sia in $A$ che in $B$. Si sommano comunque semplicemente le loro cardinalità e quindi si ha $6$ e per questo si somma all'unione anche gli elementi in comune, no?
Ma quindi io sugli appunti c'ho scritto chiaro e tondo "siano A,B disgiunti" sarà un errore? forse voleva dire distinti?
"Neptune":
Voglio dire un insieme $A={a,b,c}$ sommato ad un insieme $B={c,d,e}$ sono entrambi di cardinalità $3$ ma $c$ è presente sia in $A$ che in $B$. Si sommano comunque semplicemente le loro cardinalità e quindi si ha $6$ e per questo si somma all'unione anche gli elementi in comune, no?
No, la cardinalità dell'unione è 5, proprio perchè $c$, contenuto nell'intersezione, viene contato una sola volta.
"Neptune":
ma se sono congiunti allora, nel sommare l'intersezzione oltre all'unione, cosa fa? conta piu volte lo stesso elemento perchè "appartiene sia ad A che a B"?
Voglio dire un insieme $A={a,b,c}$ sommato ad un insieme $B={c,d,e}$ sono entrambi di cardinalità $3$ ma $c$ è presente sia in $A$ che in $B$. Si sommano comunque semplicemente le loro cardinalità e quindi si ha $6$ e per questo si somma all'unione anche gli elementi in comune, no?
Ma quindi io sugli appunti c'ho scritto chiaro e tondo "siano A,B disgiunti" sarà un errore? forse voleva dire distinti?
Non sommi gli insiemi.
Ne fai l'unione.
Perciò se $A={a,b,c}$ e $B={c,d,e}$ allora $AuuB={a,b,c,d,e}$ e $AnnB={c}$
Quindi $|A|=3$, $|B|=3$, $|AuuB|=5$, $|AnnB|=1$
e trovi verificata la formula che ti ho scritto prima io
ok ma nel mio caso l'intersezione non viene sommata? non dovrebbe invece essere sottratta secondo quello che dici tu?
"Neptune":
ok ma nel mio caso l'intersezione non viene sommata? non dovrebbe invece essere sottratta secondo quello che dici tu?
Stai attento che se viene sottratta da una parte, allora è come se fosse sommata dall'altra.
Io ti ho detto che $|AuuB|=|A|+|B|-|AnnB|$
e quindi $|AuuB|+|AnnB|=|A|+|B|$
Capito?
Ragioniamoci sopra, che è meglio:
$|AuuB| + |AnnB| =$
significa prendo A e ne faccio l'unione con B e gli aggiungo in piu l'intersezione;
$|Auu(B \\ A)| + |AnnB|=$
l'unione di A è B è equivalente a dire tutto cioè che è A unito a tutto ciò di B che non è A, piu ancora l'intersezione
$|A| + |B \\ A| + |AnnB|=$
L'unione, secondo la regola postata da voi, se si parla di cardinalità, si può scomporre in un somma;
$|A|+|(B-A)uu(AnnB)|=$
e qui ne rifà l'unione, ed effettivamente A, piu tutto cio di B che non è A, unita con l'intersezione di A e B, che da? da B no? e quindi a piu B
$|A|+|B|$
E difatti nel finale abbiamo che la formula di sopra sarebbe la cardinalità di A più la cardinalità di B. Quindi credo che se ci sono elementi in comune vengono comunque conteggiati piu volte da questa formula proprio perchè viene sommata di nuovo l'intersezione, invece di sottrarla se non la si volesse contare due volte.
Almeno io credo di aver capito così.
$|AuuB| + |AnnB| =$
significa prendo A e ne faccio l'unione con B e gli aggiungo in piu l'intersezione;
$|Auu(B \\ A)| + |AnnB|=$
l'unione di A è B è equivalente a dire tutto cioè che è A unito a tutto ciò di B che non è A, piu ancora l'intersezione
$|A| + |B \\ A| + |AnnB|=$
L'unione, secondo la regola postata da voi, se si parla di cardinalità, si può scomporre in un somma;
$|A|+|(B-A)uu(AnnB)|=$
e qui ne rifà l'unione, ed effettivamente A, piu tutto cio di B che non è A, unita con l'intersezione di A e B, che da? da B no? e quindi a piu B
$|A|+|B|$
E difatti nel finale abbiamo che la formula di sopra sarebbe la cardinalità di A più la cardinalità di B. Quindi credo che se ci sono elementi in comune vengono comunque conteggiati piu volte da questa formula proprio perchè viene sommata di nuovo l'intersezione, invece di sottrarla se non la si volesse contare due volte.
Almeno io credo di aver capito così.
"Neptune":
Ragioniamoci sopra, che è meglio:
E difatti nel finale abbiamo che la formula di sopra sarebbe la cardinalità di A più la cardinalità di B. Quindi credo che se ci sono elementi in comune vengono comunque conteggiati piu volte da questa formula proprio perchè viene sommata di nuovo l'intersezione, invece di sottrarla se non la si volesse contare due volte.
Almeno io credo di aver capito così.
Proprio perchè per ottenere $|A|+|B|$ si somma $|AnnB|$ invece che sottrarla significa che $|AuuB|$ è minore di $|A|+|B|$ e quindi gli elementi non vengono affatto conteggiati 2 volte come continui a sostenere tu!
D'accordo?
"misanino":
[quote="Neptune"]Ragioniamoci sopra, che è meglio:
E difatti nel finale abbiamo che la formula di sopra sarebbe la cardinalità di A più la cardinalità di B. Quindi credo che se ci sono elementi in comune vengono comunque conteggiati piu volte da questa formula proprio perchè viene sommata di nuovo l'intersezione, invece di sottrarla se non la si volesse contare due volte.
Almeno io credo di aver capito così.
Proprio perchè per ottenere $|A|+|B|$ si somma $|AnnB|$ invece che sottrarla significa che $|AuuB|$ è minore di $|A|+|B|$ e quindi gli elementi non vengono affatto conteggiati 2 volte come continui a sostenere tu!
D'accordo?[/quote]
Hai ragione, ma quindi la semplice "unione" sarebbe la somma senza ripetizioni, ma se a sua volta gli sommiamo l'intersezione, così non gl istiamo sommando gli elementi ripetuti?
Ovvero, come dicevi tu $|AuuB|$ è la somma senza ripetizione, se poi gli aggiungiamo $|AnnB|$ conteggiamo anche gli elemtni ripetuti?
"Neptune":
Hai ragione, ma quindi la semplice "unione" sarebbe la somma senza ripetizioni, ma se a sua volta gli sommiamo l'intersezione, così non gl istiamo sommando gli elementi ripetuti?
Ovvero, come dicevi tu $|AuuB|$ è la somma senza ripetizione, se poi gli aggiungiamo $|AnnB|$ conteggiamo anche gli elemtni ripetuti?
Infatti.
Stiamo proprio conteggiando anche gli elementi ripetuti poichè quando fai $|A|+|B|$ conteggi 2 volte gli elementi che si ripetono in A e in B
"misanino":
[quote="Neptune"]
Hai ragione, ma quindi la semplice "unione" sarebbe la somma senza ripetizioni, ma se a sua volta gli sommiamo l'intersezione, così non gl istiamo sommando gli elementi ripetuti?
Ovvero, come dicevi tu $|AuuB|$ è la somma senza ripetizione, se poi gli aggiungiamo $|AnnB|$ conteggiamo anche gli elemtni ripetuti?
Infatti.
Stiamo proprio conteggiando anche gli elementi ripetuti poichè quando fai $|A|+|B|$ conteggi 2 volte gli elementi che si ripetono in A e in B[/quote]
Perfetto, allora l'esempio che ho fatto io prima era giusto, o quasi.
Ovvero, due insiemi di cardinalità 3 ognuno, con un elemento in comune, l'unione da sola ha cardinalità 5, poi gli sommiamo l'intersezione che è 1 ed abbiamo 6. Ok quindi tutto torna.
Scusatemi se sono un pò duro di comprendorio, ma preferisco sbatterci sopra la testa distruggendo le teorie cattive che dire "sisi daccordo" senza capirlo veramente.
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