Primo teo di omomorfismo

[nato_pigro1]

Provare o confutare

1_ $A_4$ ha sottogruppi di ordine $6$.
2_ Esiste un omomorfismo di gruppi da $ZZ$ in $S_7$ che ha come nucleo $10ZZ$?
3_ Esiste un omomorfismo iniettivo da $S_n$ in $S_(n+1)$
4_ Esiste un omomorfismo surgettivo da $A_4$ in $ZZ_2$

l'1 direi di no ma non so da dove iniziare.
Il 2 ho provato per assordo e arrivo a dire che $ZZ_10$ dovrebbe essere isomorfo a un sottogruppo di $S_7$ ma non so come concludre
Il 3 proverei con $f(x)=id_(n+1)*x$, dove $id_(n+1)$ è l'identità di $S_(n+1)$, in pratica mando una permutazione in sè stessa. Ma non so bene come scriverlo per poi dimostrare che è un omomorfismo.
Per il 4 credo di aver concluso ma se ho ragione sull'1. Cioè: se esiste un omom surg allora esiste un sottogruppo $H$ di $A_4$ tale che $A_4/H$ è isomorfo a $ZZ_2$ che implica che $A_4/H$ ha ordine 2 e quindi che $H$ ha ordine 6.

Consigli e correzioni?

[alvinlee881]

La 3) è esattamente l'iniezione, come hai detto te. Per dirlo bene basta che dici che una permutazione di $S_n$ va nella permutazione di $S_(n+1)$ che, fissati $n$ elementi dell'insieme su cui agisce $S_(n+1)$, su questi $n$ si comporta allo stesso modo e lascia inalterato l'altro.
Per il 2), cerca un elemento di ordine $10$ in $S_7$...
La 1): se lo avesse, tale sottogruppo avrebbe indice $2$, quindi dovrebbe essere normale, e quindi unione di classi di coniugio in $A_4$. Ma quanti elementi hanno le classi di coniugio in $A_4$?
Infine la 4) discende dalla 1)

[nato_pigro1]

per il 2), un elemento di ordine 10 in $S_7$ è ad esempio $(1 2)(3 4 5 6 7)$, no? due cicli di lunghezza 2 e 5, il periodo della permetuzione è l'mcm, cioè 10. Però in tal modo non so concludere nè per l'esistenza nè per l'inesistenza di un tale omomorfismo...

[alvinlee881]

Hai trovato un elemento di ordine $10$, chiamiamolo $h$, quindi $$ è un sottogruppo ciclico di ordine $10$. Ma allora è isomorfo a $ZZ//10ZZ$, con l'isomorfismo $a->h^a$. Ora non ti resta che trovare un omomorfismo fra $ZZ$ e $ZZ//10ZZ$ che abbia come nucleo $10ZZ$ (...), e prendere la composizione di questi due omomorfismi. Tutto ciò se vuoi rispondere con tutti i crismi alla richiesta di scrivere l'omomorfismo. In realtà puoi benissimo fermarti quando scopri che $S_7$ possiede un sottogruppo isomorfo a $ZZ//10ZZ$.
Rifletti soprattutto su 1), è il più difficile fra i 4.