Presentazione di un gruppo

Injo
Vorrei qualche chiarimento sulle presentazioni di gruppi. Sulle dispense di cui dispongo c'è un discorso di questo tipo:

La presentazione di un gruppo è una coppia [tex][/tex] con [tex]X[/tex] insieme di generatori del gruppo libero [tex]F(X)[/tex] ed [tex]R[/tex] relazioni tra i generatori. Seguendo quest'idea viene quindi fatto quest'esempio: considerato [tex]\mathbb Z_3[/tex] prendiamo un suo generatore [tex]a[/tex]. In tal modo notiamo che [tex]a^3=a[/tex] e dunque [tex]a^2=1[/tex]. Allora [tex]\mathbb Z_3 = [/tex].

Quindi viene enunciata senza alcuna spiegazione la seguente presentazione: [tex]\mathbb Z \times \mathbb Z = [/tex]. Sapreste spiegarmi come si arriva a tale conclusione?

Grazie.

PS: Scusate ma non ho trovato come si fa il x nel Tex :P

PPS: Corretto, grazie.

Risposte
mistake89
[OT] Usa il comando \times [/OT]

j18eos
I generatori sono relazionati dall'essere permutabili tra loro quindi (visto che non conosco la teoria delle presentazione dei gruppi espongo la mia idea) ciò si trasferisce a tutti gli elementi del gruppo presentato; non vedendo nessuna condizione su un loro ipotetico periodo evinco che a e b siano elementi aperiodici, da tutto ciò si ha $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ il gruppo abeliano libero di rango 2.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"Injo":
considerato [tex]\mathbb Z_3[/tex] prendiamo un suo generatore [tex]a[/tex]. In tal modo notiamo che [tex]a^3=a[/tex] e dunque [tex]a^2=1[/tex]. Allora [tex]\mathbb Z_3 = [/tex].
No stai attento, una presentazione possibile di [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] è

[tex]\mathbb{Z}_3 = \langle a\ |\ a^3=1 \rangle[/tex],

dove la notazione è moltiplicativa. In notazione additiva (quella usuale) una presentazione risulta essere

[tex]\mathbb{Z}_3 = \langle a\ |\ 3a=0 \rangle[/tex].

L'uguaglianza [tex]a^3=a[/tex] di cui parli è sbagliata. Riguarda la struttura moltiplicativa di [tex]\mathbb{Z}_3[/tex], che non è quella che lo rende un gruppo. [tex]\mathbb{Z}_3[/tex] è un gruppo rispetto alla somma, non rispetto al prodotto.

Injo
Io avevo pensato a qualcosa di questo tipo:

Essendo [tex]aba^{-1}b^{-1}[/tex] un relatore (e quindi [tex]ab=ba[/tex]), allora ogni parola [tex]w=a^{n_1}b^{m_1}a^{n_2}b^{m_2}...a^{n_r}b^{m_r}[/tex] può essere espressa come [tex]a^nb^m[/tex]. Questo implica isomorfismo con [tex]\mathbb Z \times \mathbb Z[/tex].

Può essere corretta come idea?

Per quando riguarda l'osservazione di Martino, me ne sono reso conto; ho completamente travisato la spiegazione che era posta sull'esempio, grazie.

j18eos
La riduzione di ogni parola con finiti caratteri alla forma da te indicata è corretta!
Che implichi un isomorfismo tra il gruppo presentato con $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ non mi esprimo, a meno che tu non lo sappia costruire ;)

OUT OF SELF: Essendo in gruppi abeliani la notazione moltiplicativa è anormale e da quanto visto mi permetto di dirti di fare attenzione :-)

mistake89
Mi intrufolo in questo thread, poichè l'argomento mi piace e vorrei capire qualcosa di più.

Se non dico castronerie so che quasi ogni gruppo(credo a naso tutti i gruppi finiti, infiniti non saprei) è presentabile, cioè è sempre possibile stabilire un insieme di relazioni che ne indichino univocamente le relazioni fondamentali ed è più o meno semplice, data una presentazione, determinare gli elementi di tale gruppo.
Ma per fare il viceversa come si opera? Cioè se io ho un gruppo (nel senso conosco tutti gli elementi e la tavola di moltiplicazione) e volessi risalire alla sua presentazione come si fa?
O se tipo volessi determinare tutte le presentazioni dei gruppi non abeliano di ordine 30 (tanto per fare un esempio) come posso fare?

Avete a tal proposito qualche riferimento bibliografico da poter consultare?
Grazie mille!

Studente Anonimo
Studente Anonimo
@mistake89: purtroppo non saprei darti indicazioni bibliografiche ora come ora (non mi sono mai interessato troppo a questo argomento, che secondo me è difficile), ma ti posso dire che ogni gruppo finito ammette una presentazione. Se [tex]\{g_1,...,g_n\}[/tex] è un insieme di generatori del gruppo finito G allora l'omomorfismo che va dal gruppo libero con $n$ generatori [tex]e_1,...,e_n[/tex] al gruppo G che manda [tex]e_i[/tex] in [tex]g_i[/tex] per i=1,...,n (cf. la proprietà universale del gruppo libero) è suriettivo e il suo nucleo corrisponde ad una presentazione di G.

Per esempio puoi prendere [tex]\{g_1,...,g_n\}=G[/tex], e risulta banalmente che la tavola di moltiplicazione di G è una presentazione di G.

Per trovare tutte le presentazioni minimali di un gruppo G non fai altro che prendere tutti gli insiemi minimali di generatori e contare gli omomorfismi dal gruppo libero a G che ho descritto sopra.

Un problema che credo sia ancora aperto è il seguente: si riesce a dedurre da una presentazione di un gruppo G se la cardinalità di G è finita o meno?

mistake89
Ti ringrazio per la risposta Martino. Non conosco molto sui gruppi libero purtroppo, se non ciò che ho letto di sfuggita su qualche libro.
Proverò ad approfondire un po' da me questa cosa.

Grazie ancora!

mistake89
Ho provato a leggere e a capirci qualcosa (credo che sia un argomento più grande di me!) .

Partendo dalla definizione so che $F$ è un gruppo libero su $X$, sottoinsieme di $F$, se ogni applicazione $f$ da $X$ ad un gruppo $G$ si estende univocamente a un omomorfismo $\phi : F \to G$.
Suppongo che il sottoinsieme $X$ contenga l'alfabeto sul quale costruire le parole di $F$. Se $F$ è libero non ho "vincoli" con le quali costruire le mie parole su $X$ e $X^(-1)$. Non riesco a capire però come possano essere fatte queste applicazioni $f$. Associano da ogni "lettera" del mio alfabeto cosa di $G$?
Inoltre gli elementi di $X$ sono i generatori del gruppo libero?

Assodata la definizione di gruppo libero, considero l'insieme delle relazioni $R$ e il gruppo libero $F$ su $X$. Allora da quanto ho capito $G= \cong F//R$, cioè il gruppo presentato è un quoziente del gruppo libero (cioè $R$ ne funge da sottogruppo normale!), ove l'isomorfismo è realizzato mediante l'omomorfismo $phi$ della definizione. Giusto? E' questo ciò che intendevi Martino?

Grazie mille :)
PS Forse sarebbe meglio spostare questo post altrove, non so :)

Studente Anonimo
Studente Anonimo
@mistake89: sì magari apri un nuovo argomenti sui gruppi liberi, se no qua siamo fuori tema. :wink:

vict85
"mistake89":
Mi intrufolo in questo thread, poichè l'argomento mi piace e vorrei capire qualcosa di più.

Se non dico castronerie so che quasi ogni gruppo(credo a naso tutti i gruppi finiti, infiniti non saprei) è presentabile, cioè è sempre possibile stabilire un insieme di relazioni che ne indichino univocamente le relazioni fondamentali ed è più o meno semplice, data una presentazione, determinare gli elementi di tale gruppo.
Ma per fare il viceversa come si opera? Cioè se io ho un gruppo (nel senso conosco tutti gli elementi e la tavola di moltiplicazione) e volessi risalire alla sua presentazione come si fa?
O se tipo volessi determinare tutte le presentazioni dei gruppi non abeliano di ordine 30 (tanto per fare un esempio) come posso fare?

Avete a tal proposito qualche riferimento bibliografico da poter consultare?
Grazie mille!


Attenzione, si sa che esiste ma non è certo sempre semplice da trovare. Ed è spesso difficile sapere quando due presentazioni descrivono lo stesso gruppo o quando due "parole" rappresentano lo stesso elemento.

Per esempio $\ZZ$ ha come insieme di generatori minimali $\{1\}, \{2,3\}, \{30,42,70,105\}$ nonché qualsiasi altro sottoinsieme il cui $MCD$ è $1$ e in cui ogni suo sottoinsieme ha $MCD>1$. Non è certo facile comprendere da una presentazione con insieme di generatori $\{30,42,70,105\}$ che il gruppo con quella presentazione è $\ZZ$.

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