Precisazione coniugazione
Ciao a tutti volevo un parere circa questa questione:
Considero [tex]H_i=\{ \sigma \in A_n | \sigma(i)=i\} \cong A_{n-1}[/tex]. Il mio intento è provare gli $H_i$ son tutti coniugati tra loro, ovvero che [tex]\tau H_i \tau^{-1}=H_{\tau(i)}[/tex]. Sto in pratica richiedendo che esista in [tex]\tau H_i \tau^{-1}[/tex] una permutazione che mi fissa $\tau(i)$, cosa che è ovviamente vera per tutte le permutazioni di [tex]\tau H_i \tau^{-1}[/tex].
Basta osservare questo per concludere oppure servono considerazioni ulteriori? Magari un po' più eleganti...
Grazie mille
Considero [tex]H_i=\{ \sigma \in A_n | \sigma(i)=i\} \cong A_{n-1}[/tex]. Il mio intento è provare gli $H_i$ son tutti coniugati tra loro, ovvero che [tex]\tau H_i \tau^{-1}=H_{\tau(i)}[/tex]. Sto in pratica richiedendo che esista in [tex]\tau H_i \tau^{-1}[/tex] una permutazione che mi fissa $\tau(i)$, cosa che è ovviamente vera per tutte le permutazioni di [tex]\tau H_i \tau^{-1}[/tex].
Basta osservare questo per concludere oppure servono considerazioni ulteriori? Magari un po' più eleganti...
Grazie mille
Risposte
Considerando l'azione: \[\alpha:\sigma\in\mathrm{Alt}(n)\to(i\in\{1;...;n\}\to\sigma(i)\in\{1;...;n\})\in\mathrm{Sym}(n)\] hai che: \[\forall i\in\{1;...;n\},\,H_i=\mathrm{Stab}_{\alpha}^{\mathrm{Alt}(n)}(i)\] con un po di teoria delle azioni di un gruppo su un insieme ottieni quanto hai scritto; una semplice dispensa l'ho suggerita qui!
In effetti, questa esposizione è una formalizzazione di quanto hai scritto.
In effetti, questa esposizione è una formalizzazione di quanto hai scritto.
Quindi se l'azione è transitiva gli stabilizzatori degli elementi di $X={1,...,n}$, in questo caso gli $H_i$, costituiscono una classe di coniugio di sottogruppi di $A_n$. Giusto?
Ragionando si devono fare dei distinguo:
se \(n=1\) e \(n=2\) non c'è nulla da dimostrare;
se \(n\geq3\) l'azione \(\alpha\) è sempre transitiva, in particolare segue quanto ti interessa!
Spero che non stia scrivendo le visioni oniriche che ho in questo momento...
se \(n=1\) e \(n=2\) non c'è nulla da dimostrare;
se \(n\geq3\) l'azione \(\alpha\) è sempre transitiva, in particolare segue quanto ti interessa!
Spero che non stia scrivendo le visioni oniriche che ho in questo momento...
Ti ringrazio allora 
Magari se qualche altro vuol confermare, smentire o aggiungere è sempre il benvenuto
Magari se qualche altro vuol confermare, smentire o aggiungere è sempre il benvenuto
Appunto... altrimenti ci penserò più tardi! 
Mi accorgo di star facendo un po' questioni di lana caprina ma volevo avere a posto tutti i dettagli.
Provare che $\sigma Stab(i) \sigma^(-1)=Stab(\sigma(i))$ è semplice.
Ma se volessi trovare il coniugato di $Stab(i)$ mediante $\sigma$ senza conoscere che è $stab(\sigma(i))$ come potrei ragionare? Cioè mi spiego meglio. Io so che $Stab(i)$ e $Stab(j)$ son coniugati ogni volta che $j=\sigma tau sigma^(-1) (i)$ Come posso provare che $j$ è proprio uguale $sigma(i)$?
Provare che $\sigma Stab(i) \sigma^(-1)=Stab(\sigma(i))$ è semplice.
Ma se volessi trovare il coniugato di $Stab(i)$ mediante $\sigma$ senza conoscere che è $stab(\sigma(i))$ come potrei ragionare? Cioè mi spiego meglio. Io so che $Stab(i)$ e $Stab(j)$ son coniugati ogni volta che $j=\sigma tau sigma^(-1) (i)$ Come posso provare che $j$ è proprio uguale $sigma(i)$?
Ci ho sbattuto un po' la testa (colpa della mia poca padronanza delle azioni) ma credo di aver sistemato tutti i dettagli.
[tex]\sigma \text{Stab}(i) \sigma^{-1} = \{\sigma g \sigma^{-1}\ |\ g(i) = i\} \subseteq \text{Stab}(\sigma(i))[/tex], infatti [tex]\sigma g \sigma^{-1} (\sigma(i)) = \sigma(g(i)) = \sigma(i)[/tex].
L'altra inclusione e' equivalente a [tex]\sigma^{-1} \text{Stab}(\sigma(i)) \sigma \subseteq \text{Stab}(i)[/tex], e questa si dimostra allo stesso modo.
P.S.: L'uguaglianza [tex]\text{Stab}(x)^g = \text{Stab}(x^g)[/tex] vale per ogni azione di un gruppo [tex]G[/tex] su un insieme [tex]X[/tex], per ogni [tex]g \in G,\ x \in X[/tex].
L'altra inclusione e' equivalente a [tex]\sigma^{-1} \text{Stab}(\sigma(i)) \sigma \subseteq \text{Stab}(i)[/tex], e questa si dimostra allo stesso modo.
P.S.: L'uguaglianza [tex]\text{Stab}(x)^g = \text{Stab}(x^g)[/tex] vale per ogni azione di un gruppo [tex]G[/tex] su un insieme [tex]X[/tex], per ogni [tex]g \in G,\ x \in X[/tex].
Sì, alla fine ci sono arrivato anche io, grazie
Solo un'ultima domanda: nell'uguaglianza $Stab(x)^(g) =Stab(x^g)$ l'azione deve essere la medesima?
Perché nel caso considerato nel mio esempio l'azione su $Stab(x)^g$ è la coniugazione, mentre su $Stab(x^g)$ è l'azione naturale della permutazione su un indice.
Ho sbagliato di nuovo?
Solo un'ultima domanda: nell'uguaglianza $Stab(x)^(g) =Stab(x^g)$ l'azione deve essere la medesima?
Perché nel caso considerato nel mio esempio l'azione su $Stab(x)^g$ è la coniugazione, mentre su $Stab(x^g)$ è l'azione naturale della permutazione su un indice.
Ho sbagliato di nuovo?
"mistake89":L'azione sui sottogruppi e' quella di coniugio, ed è da sinistra o da destra a seconda dell'azione su [tex]X[/tex]. Cerco di scriverlo in modo chiaro:
Solo un'ultima domanda: nell'uguaglianza $Stab(x)^g = Stab(x^g)$ l'azione deve essere la medesima?
Se [tex]G[/tex] agisce su [tex]X[/tex] da sinistra, [tex](g,x) \mapsto gx[/tex], allora [tex]g \text{Stab}(x) g^{-1} = \text{Stab}(gx)[/tex].
Se [tex]G[/tex] agisce su [tex]X[/tex] da destra, [tex](x,g) \mapsto xg[/tex], allora [tex]g^{-1} \text{Stab}(x) g = \text{Stab}(xg)[/tex].
In pratica se [tex]G[/tex] agisce su [tex]X[/tex] da destra (risp. da sinistra) si conviene di farlo agire sui suoi sottogruppi per coniugio da destra (risp. da sinistra). Osserva in particolare che ci sono sempre due azioni di coniugio, una da destra e una da sinistra.
Perfetto, prima non riuscivo a capire questo. Ora che me l'hai confermato ho tutto chiaro
Grazie mille Martino
Grazie mille Martino
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo