Prblema con i numeri complessi elevati ad n
Qualcuno mi da una mano a risolvere questo esercizio?
Risposte
Scusa, una curiosità.. Hai mica preso questo esercizio dal libro di Giuseppe Buttazzo?
Non so da dove sia stato preso! L'ha messo il prof nella serie di esercizi da consegnare settimanalmente!
Prima ti sviluppi i numeri dentro alle parentesi ed hai che
$z_1=1+i=sqrt{2}e^{i\pi/4}$
$z_2=1-i=sqrt{2}e^{-i\pi/4}$
Per la formula di de moivre si ha: $ \rho^n e^{i n\theta}=\rho^n(cos(n\theta)+isin(n\theta))=>z_1=2^{(n/2)}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4));z_2=2^{(n/2)}(cos(-n\pi/4)+isin(-n\pi/4))=2^{(n/2)}(cos(n\pi/4)-isin(n\pi/4))$
Quindi si ha alla fine $z_1^n+z_2^n=2^{(n/2)}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4))+2^{(n/2)}(cos(n\pi/4)-isin(n\pi/4))=2^{({n+2}/2)}cos(n\pi/4)$
$z_1=1+i=sqrt{2}e^{i\pi/4}$
$z_2=1-i=sqrt{2}e^{-i\pi/4}$
Per la formula di de moivre si ha: $ \rho^n e^{i n\theta}=\rho^n(cos(n\theta)+isin(n\theta))=>z_1=2^{(n/2)}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4));z_2=2^{(n/2)}(cos(-n\pi/4)+isin(-n\pi/4))=2^{(n/2)}(cos(n\pi/4)-isin(n\pi/4))$
Quindi si ha alla fine $z_1^n+z_2^n=2^{(n/2)}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4))+2^{(n/2)}(cos(n\pi/4)-isin(n\pi/4))=2^{({n+2}/2)}cos(n\pi/4)$
mmm io ho gia visto qulla fomula di de moivre, ma in classe non è stata vista, quindi non la posso usare! 
Anche se non l'hai vista puoi giustificare il passaggio così: dici che $(\rho e^{i \theta})^n$ può esser visto sia come $\rho^n (e^{i\theta})^n$ o come nel nostro caso $ \rho^n e^{i(n\theta)}$. in questo modo sviluppado in forma trigonometrica considerando $n\theta$ come un angolo solo ottieni quello che si è scritto prima.
Ciao.
Ciao.
è un idea se solo avessimo già introdotto le forme trognometriche! mmm che noi conoscere già delle cose e non poterle usare!
Il binomio di Newton lo conosci?
Comunque a me sembra strano che ti abbiano assegnato questo esercizio senza conoscere la formula di de Moivre e\o la forma trigonometrica di un complesso..
Mi viene in mente quando un seconda liceo un compagno chiese alla prof. quanto valesse la radice di i. C'era chi buttava lì 1, -1, i.... e la prof che pensava come rispondere. Io subito diedi la risposta esatta 1/radice etc tec! Non ero un genio, semplicemente casualmente il giorno prima avevo leggiucchiatoo un libro di analisi.....
Si! Il binomio di newton lo conosco!
"cavallipurosangue":
Prima ti sviluppi i numeri dentro alle parentesi ed hai che
$z_1=1+i=sqrt{2}e^{i\pi/4}$
$z_2=1-i=sqrt{2}e^{-i\pi/4}$
Per la formula di de moivre si ha: $ \rho^n e^{i n\theta}=\rho^n(cos(n\theta)+isin(n\theta))=>z_1=sqrt{2}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4));z_2=sqrt{2}(cos(-n\pi/4)+isin(-n\pi/4))=sqrt{2}(cos(n\pi/4)-isin(n\pi/4))$
Quindi si ha alla fine $z_1+z_2=sqrt{2}(cos(n\pi/4)+isin(n\pi/4))+sqrt{2}(cos(n\pi/4)-isin(n\pi/4))=2^{({n+2}/2)}cos(n\pi/4)$
Ciao! Ho qualche problema nella visualizzazione: sotto la radice mi appare un quadrato blu nero e non capisco cosa è sotto la radice e cosa no!
Ho deciso di usare questa risoluzione e amen se non abbiamo rivisto tutto in classe! Però non sono riuscito a capire anche come hai trasformato 1 + i = ???
Mi potete aiutare? Questo esercizio mi sta facendo letteralmente impazzire!
e poi alla fine come fa a sparire la radice???? Cioè l'utlimo passaggio della somma fra i due numeri non riesco prirpio a capirlo come dalla somma esca quel risultato!
Leggi qui: https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6287
Cmq ho trasformato $1+i=sqrt{2}(cos(\pi/4)+isin(\pi/4))=\sqrt{2}e^{(i\pi/4)}$
Cmq ho trasformato $1+i=sqrt{2}(cos(\pi/4)+isin(\pi/4))=\sqrt{2}e^{(i\pi/4)}$
Per la radice si ha che $sqrt{2}=2^{1/2}$
Io ho fatto questo passaggio
Io ho fatto questo passaggio
Salve
cmq penso che nell'ultimo passaggio quel $2^((n+2)/2)$ volesse essere semplicemente un $2*2^(1/2)$ cioè un $2^(3/2)$
No?
Ciao!
cmq penso che nell'ultimo passaggio quel $2^((n+2)/2)$ volesse essere semplicemente un $2*2^(1/2)$ cioè un $2^(3/2)$
No?
Ciao!
Si avete ragione non sono stato del tutto chiaro, vado a correggere..
qualcuno mi può dire per favore come faccio a trovare le radici di queste equazioni complesse in forma trigonometrica:
z^5=1-i; (z^2-2i-2)^3=0;
devo inoltre rappresentarle nel piano complesso!!!!!!!!!!!!!!
GRAZIE!!!!
z^5=1-i; (z^2-2i-2)^3=0;
devo inoltre rappresentarle nel piano complesso!!!!!!!!!!!!!!
GRAZIE!!!!
"Tex87":
qualcuno mi può dire per favore come faccio a trovare le radici di queste equazioni complesse in forma trigonometrica:
z^5=1-i; (z^2-2i-2)^3=0;
devo inoltre rappresentarle nel piano complesso!!!!!!!!!!!!!!
GRAZIE!!!!
la prima la puoi risolvere così, cambi la variabile $z=re^(-ix)$ e ottieni
$z^5=r^5e^(-5ix)=r^5cos5x-ir^5sin5x=1-i$
e separando la parte reale da quella complessa hai
$r^5cos5x=1=r^5sin5x=1$
da cui $x=pi/20$ e $r=(1/(cos(pi/4)))^(1/5)$ infine $z=(1/(cos(pi/4)))^(1/5)cos(pi/20)-ir=(1/(cos(pi/4)))^(1/5)sin(pi/20)$
Io non sono d'accordo completamente, in quanto nei complessi una radice ammette un numero di soluzioni pari al suo indice, in questo caso 5. Quindi posto un intero $k\in[0,4]$ :
$z^5=1-i=\sqrt{2}(cos(\pi/4)-isin(\pi/4))=>z=2^{1/{10}}(cos({\pi/4+2k\pi}/5)-isin({\pi/4+2k\pi}/5))$
Le soluzioni cercate saranno quindi:
${(z_0=2^{1/{10}}(cos(\pi/{20})-isin(\pi/{20}))),(z_1=2^{1/{10}}(cos({9\pi}/{20})-isin({9\pi}/{20}))),(z_2=2^{1/{10}}(cos({17\pi}/{20})-isin({17\pi}/{20}))),(z_3=2^{1/{10}}(cos({5\pi}/{4})-isin({5\pi}/{4}))),(z_4=2^{1/{10}}(cos({17\pi}/{10})-isin({17\pi}/{10}))):}$
$z^5=1-i=\sqrt{2}(cos(\pi/4)-isin(\pi/4))=>z=2^{1/{10}}(cos({\pi/4+2k\pi}/5)-isin({\pi/4+2k\pi}/5))$
Le soluzioni cercate saranno quindi:
${(z_0=2^{1/{10}}(cos(\pi/{20})-isin(\pi/{20}))),(z_1=2^{1/{10}}(cos({9\pi}/{20})-isin({9\pi}/{20}))),(z_2=2^{1/{10}}(cos({17\pi}/{20})-isin({17\pi}/{20}))),(z_3=2^{1/{10}}(cos({5\pi}/{4})-isin({5\pi}/{4}))),(z_4=2^{1/{10}}(cos({17\pi}/{10})-isin({17\pi}/{10}))):}$
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