Potenze k-esime di un gruppo simmetrico.

[Cintia1]

Buongiorno a tutti! Gentilmente potreste aiutarmi con un quesito molto semplice: come si calcolano le potenze k-esime (con k qualunque) degli elementi del gruppo simmetrico S3? C'è qualche anima pia in grado di illuminarmi con un procedimento generale per ogni gruppo simmetrico? Ci sono pochi link e discussioni che rimandano all'argomento e io purtroppo non riesco a capire il concetto. Vi ringrazio anticipatamente.

[Pappappero1]

Immaginiamo sempre di scomporre una permutazione come prodotto di cicli disgiunti. In questo modo, dal momento che cicli disgiunti commutano, la potenza di una permutazione $\sigma^k$ è il prodotto delle potenze dei suoi fattori. Perciò il nostro obiettivo diventa capire come si comportano le potenze di un $m$-ciclo.

Prendiamo (a meno di coniugi) il ciclo $\sigma = (1,2...,m)$. Ora, dal momento che $\sigma^m = 1$, ci basta capire come si comportano le potenze $\sigma^k$ per $k < m$. In sostanza tutto questo si riassume nel voler capire come sono fatti gli elementi del gruppo ciclico $C_m = \langle \sigma \rangle$.

Fissiamo $k$ e vediamo cosa fa $\sigma^k$: $\sigma$ porta $1$ in $2$, $2$ in $3$ e così via, perciò $\sigma^k$ porterà (tutti gli interi sono da leggersi modulo $m$) $1$ in $k+1$, $k+1$ in $2k +1$, che poi va in $3k+1$ e così via.

E' immediato che se $k$ e $m$ sono coprimi, il risultato è ancora un $m$-ciclo (con gli elementi in un ordine diverso). Più in generale, se $d$ è il MCD di $k,m$ con un po' di combinatoria si vede che il risultato è il prodotto di $d$ cicli disgiunti, ciascuno di lunghezza $m/d$.