Potenze di permutazioni
Ecco di nuovo qua per chiedere aiuto.
Studiando la teoria pensavo di aver capito il funzionamento delle potenze di permutazioni, ma quando mi sono trovato di fronte ad un esempio non c'ho capito nulla.
Testo esempio:
Sia $ s = ( 1 2 4 ) ( 3 5 ) in S_5 $. Ricordiamo che $ ( 1 2 4 ) $ ha periodo $ 3 $ e le sue potenze distinte sono solo $ ( 1 2 4 ) $, $ ( 1 4 2 ) $ e $ e $, mentre $ ( 3 5 ) $ ha periodo $ 2 $ e le sue potenze danno alternativamente $ ( 3 5 ) $ ed $ e $.
Consideriamo le potenze positive di $ s $.
$ s^2 = ( 1 2 4 )^2 ( 3 5 )^2 = ( 1 4 2 ) e = ( 1 4 2 ) $,
$ s^3 = ( 1 2 4 )^3 ( 3 5 )^3 = e ( 3 5 ) = ( 3 5 ) $,
$ s^4 = ( 1 2 4 )^4 ( 3 5 )^4 = ( 1 2 4 ) e = ( 1 2 4 ) $,
$ s^5 = ( 1 2 4 )^5 ( 3 5 )^5 = ( 1 4 2 ) ( 3 5 ) $,
$ s^6 = ( 1 2 4 )^6 ( 3 5 )^6 = e.
Io non ho capito come riesce a trovare queste potenze distinte.
Grazie a tutti per le eventuali risposte.
Studiando la teoria pensavo di aver capito il funzionamento delle potenze di permutazioni, ma quando mi sono trovato di fronte ad un esempio non c'ho capito nulla.
Testo esempio:
Sia $ s = ( 1 2 4 ) ( 3 5 ) in S_5 $. Ricordiamo che $ ( 1 2 4 ) $ ha periodo $ 3 $ e le sue potenze distinte sono solo $ ( 1 2 4 ) $, $ ( 1 4 2 ) $ e $ e $, mentre $ ( 3 5 ) $ ha periodo $ 2 $ e le sue potenze danno alternativamente $ ( 3 5 ) $ ed $ e $.
Consideriamo le potenze positive di $ s $.
$ s^2 = ( 1 2 4 )^2 ( 3 5 )^2 = ( 1 4 2 ) e = ( 1 4 2 ) $,
$ s^3 = ( 1 2 4 )^3 ( 3 5 )^3 = e ( 3 5 ) = ( 3 5 ) $,
$ s^4 = ( 1 2 4 )^4 ( 3 5 )^4 = ( 1 2 4 ) e = ( 1 2 4 ) $,
$ s^5 = ( 1 2 4 )^5 ( 3 5 )^5 = ( 1 4 2 ) ( 3 5 ) $,
$ s^6 = ( 1 2 4 )^6 ( 3 5 )^6 = e.
Io non ho capito come riesce a trovare queste potenze distinte.
Grazie a tutti per le eventuali risposte.
Risposte
Secondo me ti stai perdendo questo: che cosa significa "potenza" di una permutazione? Ad esempio, sai che significa $(12)^2$ (metti pure che siamo in $S_5$)? Capito questo (è davvero semplice, fidati: pensa a che vuol dire fare la potenza di un numero) il resto segue subito: sono solo conti.
Avendo come periodo $ 2 $ ha due potenze distinte, che sono $ ( 1 2 ) $ ed $ e $. La stessa cosa che accadeva per $ ( 3 5 ) $ prima.
Però non l'ho capito, l'ho fatto ad intuito sapendo l'esempio di prima.
Sulla teoria riportata dal mio libro, parlava di potenze di permutazioni rispetto ad un elemento della permutazione, qua invece di tutta la permutazione e non riesco a capire come cambia.
Però non l'ho capito, l'ho fatto ad intuito sapendo l'esempio di prima.
Sulla teoria riportata dal mio libro, parlava di potenze di permutazioni rispetto ad un elemento della permutazione, qua invece di tutta la permutazione e non riesco a capire come cambia.
Quanto affermi a proposito dell'ordine è corretto, d'accordo. Il punto è: che vuol dire $(12)^2$?
Come si fa a calcolare operativamente? E' semplice: $(12)^2$ significa applicare due volte $(12)$, cioè $(12)(12)$. Nel caso di uno scambio (2-ciclo) il risultato è ovvio. Tuttavia, quanto detto si estende a qualsiasi permutazione.
Ad esempio, $(1234)^3=(1234)(1234)(1234)$. Sei in grado di proseguire tu da solo? E' più chiaro ora? Se hai bisogno siamo qui.
Come si fa a calcolare operativamente? E' semplice: $(12)^2$ significa applicare due volte $(12)$, cioè $(12)(12)$. Nel caso di uno scambio (2-ciclo) il risultato è ovvio. Tuttavia, quanto detto si estende a qualsiasi permutazione.
Ad esempio, $(1234)^3=(1234)(1234)(1234)$. Sei in grado di proseguire tu da solo? E' più chiaro ora? Se hai bisogno siamo qui.
A vederla scritta quel modo mi sembrava di aver capito, ma quando sono andato a svolgerla mi sono reso conto che non era così
Se $ ( 1 2 3 4 )^3 = ( 1 2 3 4 ) ( 1 2 3 4 ) ( 1 2 3 4 ) $, non devo far altro che applicare il prodotto di permutazioni.
E' così?
Se $ ( 1 2 3 4 )^3 = ( 1 2 3 4 ) ( 1 2 3 4 ) ( 1 2 3 4 ) $, non devo far altro che applicare il prodotto di permutazioni.
E' così?
Sì, certo.
Sto tentando di farlo, ma probabilmente ancora non mi è molto chiaro il prodotto di permutazioni.
Io giungo alla soluzione $ ( 4 1 2 3 ) $ ma non mi pare che abbia molto senso.
Io giungo alla soluzione $ ( 4 1 2 3 ) $ ma non mi pare che abbia molto senso.
A me esce $(1432)$.
Semplicemente devi applicare (comporre) più volte la permutazione $(1234)$ e poi leggere il risultato finale. Così (la seconda riga è $sigma$, sulla terza c'è $sigma^2$ e così via):
12345
23415
34125
41235
Chiaro?
Semplicemente devi applicare (comporre) più volte la permutazione $(1234)$ e poi leggere il risultato finale. Così (la seconda riga è $sigma$, sulla terza c'è $sigma^2$ e così via):
12345
23415
34125
41235
Chiaro?
In questi casi è più semplice osservare una cosa. Se chiamiamo $sigma$ la nostro permutazione si ha $sigma^4=id$. Possiamo scriverla come $sigma^3sigma=id$ cioè $sigma^3=sigma^(-1)$. Quindi calcolare $sigma^3$ equivale a calcolare $sigma^(-1)$.
In base a ciò che ho scritto sopra prova a verificare $(1234)(4123)=id$? Se così è, allora è corretto, altrimenti guarda meglio
EDIT: Scusa Paolo per la sovrapposizione.
In base a ciò che ho scritto sopra prova a verificare $(1234)(4123)=id$? Se così è, allora è corretto, altrimenti guarda meglio
EDIT: Scusa Paolo per la sovrapposizione.
Scusate la mia totale ignoranza, ma io ho fatto così.
$( 1234 )^3 = ( 1234 ) ( 1234 ) ( 1234 ) = ( 4123 ) $.
Ho cominciato da $ 1 $ ed ho fatto:
$ 1 rarr 2 rarr 3 rarr 4 $
$ 2 rarr 3 rarr 4 rarr 1 $
$ 3 rarr 4 rarr 1 rarr 2 $
$ 4 rarr 1 rarr 2 rarr 3 $
E' sbagliato, ovviamente.
Poi $ (1432) != ( 4123 ) $.
@mistake89: con $ id $ che cosa indichi?
EDIT:
Credo di aver capito dove sta il problema, non riesco a riportare in permutazione le trasposizioni ottenute.
Non so come andare a scegliere gli elementi e come sceglierli.
Spero di essermi spiegato.
$( 1234 )^3 = ( 1234 ) ( 1234 ) ( 1234 ) = ( 4123 ) $.
Ho cominciato da $ 1 $ ed ho fatto:
$ 1 rarr 2 rarr 3 rarr 4 $
$ 2 rarr 3 rarr 4 rarr 1 $
$ 3 rarr 4 rarr 1 rarr 2 $
$ 4 rarr 1 rarr 2 rarr 3 $
E' sbagliato, ovviamente.
Poi $ (1432) != ( 4123 ) $.
@mistake89: con $ id $ che cosa indichi?
EDIT:
Credo di aver capito dove sta il problema, non riesco a riportare in permutazione le trasposizioni ottenute.
Non so come andare a scegliere gli elementi e come sceglierli.
Spero di essermi spiegato.
Nessun suggerimento/risposta?
Hai fatto bene! $(1234)^3=(1432)$.
Con $id$ indicavo l'identità, cioè la permutazione che lascia fissi tutti gli elementi. Volevo farti notare che $(1234)(1432)=id$
Con $id$ indicavo l'identità, cioè la permutazione che lascia fissi tutti gli elementi. Volevo farti notare che $(1234)(1432)=id$
Aveva fatto bene Paolo90, non io. Quella soluzione era la sua, la mia era $ (4123) $.
Comunque in questo momento ho avuto un illuminazione rileggendo e osservando i commenti, quindi forse ho capito come devo comportarmi per riportare gli elementi nel ciclo.
Provo a vedere se riesco a fare un esercizio e poi posto il testo, il procedimento e la mia soluzione.
Così potete dirmi se c'è qualcosa di strano e poco chiaro.
Comunque in questo momento ho avuto un illuminazione rileggendo e osservando i commenti, quindi forse ho capito come devo comportarmi per riportare gli elementi nel ciclo.
Provo a vedere se riesco a fare un esercizio e poi posto il testo, il procedimento e la mia soluzione.
Così potete dirmi se c'è qualcosa di strano e poco chiaro.
Dunque, ho trovato solo un esercizio completo e non specifico sulle potenze di permutazioni.
Testo:
Sia $ s = ( 1 4 5 ) ( 2 3 4 ) ( 1 5 ) in S_5 $.
a) Calcolare $ s^18 $.
b) Posto $ t = ( 2 4 5 ) ( 1 3 ) $, dire se $st$ è pari o dispari e se $ st = ts $.
Prima di tutto scrivo $ s $ in cicli disgiunti e viene $ s = ( 1 ) ( 2 3 54 ) $.
Poi trovo il periodo di $ s $ e $ o(s) = mcm ( 4, 1 ) = 4 $.
Visto che $ 18 = 4 * 4 + 2 $, allora $ s^18 = s^2 $.
Quindi $s^2 = ( 2354 ) ( 2354) $.
Le trasposizioni sono:
$2 rarr 3 rarr 5 $
$3 rarr 5 rarr 4 $
$ 4 rarr 2 rarr 3 $
$ 5 rarr 4 rarr 2 $
Quindi $ s^2 = (1)(25)(34) = s^18 $.
Il resto dell'esercizio esula dalla domanda del topic.
E' corretto così?
EDIT: ho corretto l'errore.
Testo:
Sia $ s = ( 1 4 5 ) ( 2 3 4 ) ( 1 5 ) in S_5 $.
a) Calcolare $ s^18 $.
b) Posto $ t = ( 2 4 5 ) ( 1 3 ) $, dire se $st$ è pari o dispari e se $ st = ts $.
Prima di tutto scrivo $ s $ in cicli disgiunti e viene $ s = ( 1 ) ( 2 3 54 ) $.
Poi trovo il periodo di $ s $ e $ o(s) = mcm ( 4, 1 ) = 4 $.
Visto che $ 18 = 4 * 4 + 2 $, allora $ s^18 = s^2 $.
Quindi $s^2 = ( 2354 ) ( 2354) $.
Le trasposizioni sono:
$2 rarr 3 rarr 5 $
$3 rarr 5 rarr 4 $
$ 4 rarr 2 rarr 3 $
$ 5 rarr 4 rarr 2 $
Quindi $ s^2 = (1)(25)(34) = s^18 $.
Il resto dell'esercizio esula dalla domanda del topic.
E' corretto così?
EDIT: ho corretto l'errore.
Hai sbagliato! Ad esempio: come può andare il 3 nel 5?
Hai ragione, ma l'errore è stato nel riportare la potenza di permutazione.
Ho scritto male la permutazione che precedentemente avevo ottenuto, ovvero $ s $.
Infatti $ s = (2354) $ e non $ (2345) $, come scritto la seconda volta.
Quindi $ s^2 = (2354)(2354) $ e non $ (2345)(2345) $.
Ho scritto male la permutazione che precedentemente avevo ottenuto, ovvero $ s $.
Infatti $ s = (2354) $ e non $ (2345) $, come scritto la seconda volta.
Quindi $ s^2 = (2354)(2354) $ e non $ (2345)(2345) $.
Ora è tutto OK!
Ancora una volta grazie per l'aiuto dimostrato e la vostra disponibilità!
Prego, di nulla!
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