Postini non proprio 'onestissimi'...
Ragazzi
qualcuno di voi ha chiesto tempo fa il significato preciso di ‘Matematica discreta’. La risposta sul momento mi è sembrata ‘banale’. Pensandoci però con maggior impegno sono giunto alla conclusione che essa non è affatto banale e pertanto mi son dato da fare per trovare una definizione ‘esatta’. Tra le varie definizioni da me prese in considerazione la seguente mi pare la più ‘verosimile’…
Matematica discreta è quella branca della Matematica che opera sugli insiemi i cui elementi possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali
Se accettiamo per buona questa definizione nell’ambito della Matematica discreta rientrano certamente le funzioni di probabilità discreta e il problema che intendo sottoporre alla vostra attenzione si riferisce ad una di queste funzioni…
Non so chi di voi conosce la Repubblica di Manolestlanka. Essa e costituita da un gruppo di isolette situate nell’Oceano Indiano, la cui principale ha nome Bandabassottera e su di essa si trova la capitale Rapinlamadad
. Le risorse locali sono assai esigue e quelle poche che ci sono finiscono regolarmente depredate, ragion per cui molti degli abitanti sono costretti a emigrare per cercare fortuna in paesi 'stranieri'. Di tutti i paesi del mondo, quello che si mostra di gran lunga più ‘accogliente’ per loro è… indovinate un po’... l’Italia… La maggior parte degli emigranti ‘manolestlankidi’ riesce a salire su uno dei numerosi barconi che salpano con destinazione Lampedusa. Chi riesce a compiere la traversata incolume, una volta qui approdato viene regolarmente soccorso, rifocillato e quindi, non importa se ‘in regola con i requisiti per l’immigrazione’ o no, prontamente smistato in varie località della penisola, con predilezione per il settentrione. Una volta sistematisi e trovato un ‘lavoro’ discretamente retribuito, prima loro preoccupazione è quella di inviare denaro alle famiglie rimaste in patria. Sfortuna vuole che, causa l’arretratezza del loro paese d’origine, la sola maniera di fare questo è servirsi della posta ordinaria. In Manolestlanka il personale della posta non brilla per onestà e capita che, se si accorgono che in una missiva vi è del denaro, questa viene ‘aperta’, ‘ripulita accuratamente’, ‘richiusa’ e infine ‘regolarmente recapitata’. Il problema che intendo porre alla vostra attenzione ragazzi è il seguente. Dati…
$n$: numero di lettere giornaliere recapitate da ogni postino
$alpha$: probabilità che una lettera contenga del denaro
$beta$: probabilità che il postino si accorga che la lettera contiene denaro
… calcolare la probabilità che su $n$ lettere smistate, $k$ contenenti denaro arrivino ai legittimi destinatari… buon lavoro!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
qualcuno di voi ha chiesto tempo fa il significato preciso di ‘Matematica discreta’. La risposta sul momento mi è sembrata ‘banale’. Pensandoci però con maggior impegno sono giunto alla conclusione che essa non è affatto banale e pertanto mi son dato da fare per trovare una definizione ‘esatta’. Tra le varie definizioni da me prese in considerazione la seguente mi pare la più ‘verosimile’…
Matematica discreta è quella branca della Matematica che opera sugli insiemi i cui elementi possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali
Se accettiamo per buona questa definizione nell’ambito della Matematica discreta rientrano certamente le funzioni di probabilità discreta e il problema che intendo sottoporre alla vostra attenzione si riferisce ad una di queste funzioni…
Non so chi di voi conosce la Repubblica di Manolestlanka. Essa e costituita da un gruppo di isolette situate nell’Oceano Indiano, la cui principale ha nome Bandabassottera e su di essa si trova la capitale Rapinlamadad
. Le risorse locali sono assai esigue e quelle poche che ci sono finiscono regolarmente depredate, ragion per cui molti degli abitanti sono costretti a emigrare per cercare fortuna in paesi 'stranieri'. Di tutti i paesi del mondo, quello che si mostra di gran lunga più ‘accogliente’ per loro è… indovinate un po’... l’Italia… La maggior parte degli emigranti ‘manolestlankidi’ riesce a salire su uno dei numerosi barconi che salpano con destinazione Lampedusa. Chi riesce a compiere la traversata incolume, una volta qui approdato viene regolarmente soccorso, rifocillato e quindi, non importa se ‘in regola con i requisiti per l’immigrazione’ o no, prontamente smistato in varie località della penisola, con predilezione per il settentrione. Una volta sistematisi e trovato un ‘lavoro’ discretamente retribuito, prima loro preoccupazione è quella di inviare denaro alle famiglie rimaste in patria. Sfortuna vuole che, causa l’arretratezza del loro paese d’origine, la sola maniera di fare questo è servirsi della posta ordinaria. In Manolestlanka il personale della posta non brilla per onestà e capita che, se si accorgono che in una missiva vi è del denaro, questa viene ‘aperta’, ‘ripulita accuratamente’, ‘richiusa’ e infine ‘regolarmente recapitata’. Il problema che intendo porre alla vostra attenzione ragazzi è il seguente. Dati…$n$: numero di lettere giornaliere recapitate da ogni postino
$alpha$: probabilità che una lettera contenga del denaro
$beta$: probabilità che il postino si accorga che la lettera contiene denaro
… calcolare la probabilità che su $n$ lettere smistate, $k$ contenenti denaro arrivino ai legittimi destinatari… buon lavoro!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
"lupo grigio":
$beta$: probabilità che il postino si accorga che la lettera contiene denaro
Non è mi chiaro. Con $\beta$ intendi la probabilita' condizionata che se la lettera contiene denaro, allora il postino se ne accorga oppure intendi la probabilita' che il postino apra la lettera per controllare se in essa c'e' denaro (e nel qual caso la svuota)?
Diciamo che $beta$ è la probabilità che una lettera contenente denaro sia 'ripulita' dal postino. Per esempio se il postino deve consegnare $1000$ lettere e di queste $50$ contengono denaro allora è $alpha=50/1000=.05$. Se delle $50$ lettere che contengono denaro il postino ne individua [e quindi ne 'ripulisce'] $20$ allora è $beta=20/50=.4$. Diamo per scontato che il postino non è in grado di aprire tutte e $1000$ le lettere e pertanto deve affidarsi a 'trucchi' che a volte individuano il denaro contenuto in una busta e a volte no...
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
... may be... 
cordiali saluti
lupo grigio
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cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Sia
$A_(n,h)=((n),(h))\alpha^h\(1-alpha)^(n-h)$
e
$B_(h,k)=((h),(k))(1-\beta)^(k)\beta^(h-k)$.
$A_(n,h)$ e' la probabilita' che ci siano $h$ lettere contenenti denaro e $B_(h,k)$ e' la probabilita' che esattamente $k$ lettere su $h$ contenenti denaro non siano svuotate. Allora la probabilita' cercata e'
$sum_(h=0)^n A_(n,h)\cdot B_(h,k)$
EDIT: avevo intepretato male il problema, sorry
$A_(n,h)=((n),(h))\alpha^h\(1-alpha)^(n-h)$
e
$B_(h,k)=((h),(k))(1-\beta)^(k)\beta^(h-k)$.
$A_(n,h)$ e' la probabilita' che ci siano $h$ lettere contenenti denaro e $B_(h,k)$ e' la probabilita' che esattamente $k$ lettere su $h$ contenenti denaro non siano svuotate. Allora la probabilita' cercata e'
$sum_(h=0)^n A_(n,h)\cdot B_(h,k)$
EDIT: avevo intepretato male il problema, sorry
"fields":
$sum_(h=0)^n A_(n,h)\cdot B_(h,k)$
Se il mio approccio è corretto, ora si tratterebbe di valutare questa sommatoria... Ci provo...
Iniziamo con un lemma.
Il nostro scopo e' valutare questa sommatoria
$sum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))x^h$
Abbiamo che
$sum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))x^h=(n!)/(k!)sum_(h=k)^n1/((n-h)!(h-k)!)x^h$
Poniamo $i=h-k$. Otteniamo allora
$(n!)/(k!)sum_(h=k)^n1/((n-h)!(h-k)!)x^h=(n!)/(k!)sum_(i=0)^(n-k)1/((n-k-i)!(i)!)x^(i+k)=$
$=(n!)/(k!)x^ksum_(i=0)^(n-k)1/((n-k-i)!(i)!)x^i=(n!)/((k!)(n-k)!)x^ksum_(i=0)^(n-k)((n-k)!)/((n-k-i)!(i)!)x^i=((n),(k))x^k(x+1)^(n-k)$
Dunque
$sum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))x^h=((n),(k))x^k(x+1)^(n-k)$
Ora la nostra sommatoria era
$sum_(h=k)^nA_(n,h)B_(h,k)=sum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))\alpha^h(1-\alpha)^(n-h)(1-\beta)^k\beta^(h-k)=$
$=(1-\alpha)^n((1-\beta)/\beta)^ksum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))((\alpha\beta)/(1-\alpha))^h$
Applicando la nostra formula, abbiamo che la probabilita' cercata e'
$(1-\alpha)^n((1-\beta)/\beta)^k((n),(k))((\alpha\beta)/(1-\alpha))^k(((\alpha\beta)/(1-\alpha))+1)^(n-k)$
EDIT: un typo
Il nostro scopo e' valutare questa sommatoria
$sum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))x^h$
Abbiamo che
$sum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))x^h=(n!)/(k!)sum_(h=k)^n1/((n-h)!(h-k)!)x^h$
Poniamo $i=h-k$. Otteniamo allora
$(n!)/(k!)sum_(h=k)^n1/((n-h)!(h-k)!)x^h=(n!)/(k!)sum_(i=0)^(n-k)1/((n-k-i)!(i)!)x^(i+k)=$
$=(n!)/(k!)x^ksum_(i=0)^(n-k)1/((n-k-i)!(i)!)x^i=(n!)/((k!)(n-k)!)x^ksum_(i=0)^(n-k)((n-k)!)/((n-k-i)!(i)!)x^i=((n),(k))x^k(x+1)^(n-k)$
Dunque
$sum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))x^h=((n),(k))x^k(x+1)^(n-k)$
Ora la nostra sommatoria era
$sum_(h=k)^nA_(n,h)B_(h,k)=sum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))\alpha^h(1-\alpha)^(n-h)(1-\beta)^k\beta^(h-k)=$
$=(1-\alpha)^n((1-\beta)/\beta)^ksum_(h=k)^n ((n),(h))((h),(k))((\alpha\beta)/(1-\alpha))^h$
Applicando la nostra formula, abbiamo che la probabilita' cercata e'
$(1-\alpha)^n((1-\beta)/\beta)^k((n),(k))((\alpha\beta)/(1-\alpha))^k(((\alpha\beta)/(1-\alpha))+1)^(n-k)$
EDIT: un typo
Caro fields
vedo che stai profondendo molte energie nel problema… quindi deduco che il problema ha solleticato il tuo interesse …
Per dissipare qualche motivo di confusione proporrei di usare al posto di $beta$ [una specie di ‘tasso di killeraggio’ dovuto alla disonestà dei postini…] la variabile $gamma=1-beta$ [che possiamo definire ‘tasso di sopravvivenza’…]. E’ chiaro che il problema resta lo stesso, abbiamo solo reso ‘omogenee’ le variabili indipendenti…
In tal caso possiamo definire ‘a parole’ la probabilità che su $n$ buste distribuite dalla posta siano $k$ quelle contenenti denaro recapitate come ‘probabilità che su $i$ buste con denaro distribuite dalla posta $k$ abbiano superato indenni il postino'. Indichiamo la probabilità cercata con $P_(n,k)$. In tal caso la formula dovrebbe essere…
$P_(n,k)= sum_(i=k)^n ((n),(i))*alpha^i*(1-alpha)^(n-i)*((i),(k))*gamma^k*(1-gamma)^(i-k)$ (1)
In sostanza la formula sarebbe quella da te indicata in un primo tempo con la differenza che la sommatoria parte da $k$ e non da $0$. Il motivo di ciò è evidente in quanto il termine $((i),(k))$ non esiste quando è $i
E’ giusto fin qui?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
vedo che stai profondendo molte energie nel problema… quindi deduco che il problema ha solleticato il tuo interesse
… Per dissipare qualche motivo di confusione proporrei di usare al posto di $beta$ [una specie di ‘tasso di killeraggio’ dovuto alla disonestà dei postini…] la variabile $gamma=1-beta$ [che possiamo definire ‘tasso di sopravvivenza’…]. E’ chiaro che il problema resta lo stesso, abbiamo solo reso ‘omogenee’ le variabili indipendenti…
In tal caso possiamo definire ‘a parole’ la probabilità che su $n$ buste distribuite dalla posta siano $k$ quelle contenenti denaro recapitate come ‘probabilità che su $i$ buste con denaro distribuite dalla posta $k$ abbiano superato indenni il postino'. Indichiamo la probabilità cercata con $P_(n,k)$. In tal caso la formula dovrebbe essere…
$P_(n,k)= sum_(i=k)^n ((n),(i))*alpha^i*(1-alpha)^(n-i)*((i),(k))*gamma^k*(1-gamma)^(i-k)$ (1)
In sostanza la formula sarebbe quella da te indicata in un primo tempo con la differenza che la sommatoria parte da $k$ e non da $0$. Il motivo di ciò è evidente in quanto il termine $((i),(k))$ non esiste quando è $i
E’ giusto fin qui?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Eh sì, lupo grigio, il problema che hai proposto è molto interessante.. complimenti! 
Comunque talvolta si definisce $((i),(k))=0$ se $i
Per il resto, ok
Comunque talvolta si definisce $((i),(k))=0$ se $i
Per il resto, ok
Allora
per prima cosa complimenti vivissimi a fields per aver ‘trovato’ la formula…
$sum_(i=k)^n ((n),(i))*((i),(k))*x^i= ((n),(k))*x^k*(1+x)^(n-k)$ (1)
Applichiamola ora alla probabilità cercata, espressa questa volta con $alpha$ e $gamma$…
$P_(k,n)= sum_(i=k)^(n) ((n),(i))*((i),(k))*alpha^i*(1-alpha)*(n-i)*gamma^k*(1-gamma)^(i-k)$ (2)
Ponendo nella (1)…
$x=(alpha*(1-gamma))/(1-alpha)$ (3)
… e operando con pazienza e attenzione si ottiene dopo lunghi, noiosi ma non difficili passaggi…
$P_(n,k)= ((n),(k))*alpha^k*gamma^k*(1-alpha*gamma)^(n-k)$ (4)
Il risultato è in un certo senso ‘deludente’: la (4) altro non è che la distribuzione binomiale ‘standard’ in cui è $p=alpha*gamma$. Se le cose stanno in questa maniera quindi, non è possibile scoprire il furto operato dai postini di Manolestlanka utilizzando metodi ‘statistici’. In altre parole se i furti avvenissero in maniera del tutto ‘casuale’ da parte di tutti i postini questi la ‘farebbero franca’…
Può darsi però che così non sia per cui… non arrendiamoci così presto!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teetn, but never his nature
per prima cosa complimenti vivissimi a fields per aver ‘trovato’ la formula…
$sum_(i=k)^n ((n),(i))*((i),(k))*x^i= ((n),(k))*x^k*(1+x)^(n-k)$ (1)
Applichiamola ora alla probabilità cercata, espressa questa volta con $alpha$ e $gamma$…
$P_(k,n)= sum_(i=k)^(n) ((n),(i))*((i),(k))*alpha^i*(1-alpha)*(n-i)*gamma^k*(1-gamma)^(i-k)$ (2)
Ponendo nella (1)…
$x=(alpha*(1-gamma))/(1-alpha)$ (3)
… e operando con pazienza e attenzione si ottiene dopo lunghi, noiosi ma non difficili passaggi…
$P_(n,k)= ((n),(k))*alpha^k*gamma^k*(1-alpha*gamma)^(n-k)$ (4)
Il risultato è in un certo senso ‘deludente’: la (4) altro non è che la distribuzione binomiale ‘standard’ in cui è $p=alpha*gamma$. Se le cose stanno in questa maniera quindi, non è possibile scoprire il furto operato dai postini di Manolestlanka utilizzando metodi ‘statistici’. In altre parole se i furti avvenissero in maniera del tutto ‘casuale’ da parte di tutti i postini questi la ‘farebbero franca’…
Può darsi però che così non sia per cui… non arrendiamoci così presto!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teetn, but never his nature
Ragazzi
dopo un periodo di piacevole ricreazione torniamo ad occuparci dei postini di Manolestlanka. Nella precedente puntata abbiamo supposto che tutti i postini siano disonesti ed abbiamo visto che in tal caso non è possibile ‘smascherarli’. Facciamo ora una ipotesi più realistica e cioè che non proprio tutti siano ‘disonesti’ e di essi una certa percentuale $eta$ con $0<=eta<=1$ siano invece ‘onesti’ vale a dire anche se si accorgono che una busta contiene denaro la recapitano senza toccarne il contenuto. In questo caso se chiamiamo $p$ la probabilità che una busta arrivata a Manolestlanka contenga del denaro, sarà $p_1=p$ la probabilità che contenga ancora denaro se il postino è ‘onesto’, $p_2
$P_(n,k)= ((n),(k))*[eta*p_1^k*(1-p_1)^(n-k)+(1-eta)*p_2^k*(1-p_2)^(n-k)]$ (1)
Fin qui tutto ‘semplice’ e non ci sono problemi. Ora proviamo a calcolare dalla (1) i valori $mu=E[k]$ e $sigma^2= E[(k-mu)^2]$. Data una distribuzione ‘binomiale standard’ …
$P_(n,k)= ((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)$ (2)
è nota la procedura per il calcolo di $mu$ e $sigma^2$. Senza eccessive difficoltà si trova…
$mu= E[k]= n*p$ (3)
Un poco di difficoltà in più si ha nel calcolo della $sigma^2$. Per questo conviene ricorrere alla formula…
$sigma^2= E[k^2]-E^2[k]$ (4)
Per la distribuzione ‘binomiale standard’ si trova procedendo con pazienza…
$E[k^2] = n*p*(n*p-p+1)$ (5)
… per cui…
$sigma^2=E[k^2]-E^2[k]= n*p*(n*p-p+1)-n^2*p^2= n*p*(1-p)$ (6)
Ok ragazzi!… Ora non resta che seguire la stessa strada partendo dalla (1). Senza lasciarsi prendere dallo scoramento cominciamo dal valor medio...
$mu=E[k]=n*[eta*p_1+(1-eta)*p_2]$ (7)
Con pazienza ed attenzione calcoliamo ora $E[k^2]$. Senza morirci sopra si trova…
$E[k^2]= n^2*[eta*p_1*(n*p_1-p_1+1)+(1-eta)*p_2*(n*p_2-p_2+1)]$ (8)
A questo punto siamo in porto ragazzi. Basta fare una differenza e si trova, con un poco di semplificazioni…
$sigma^2= E[k^2]-mu^2= n^2*eta*(1-eta)*(p_1-p_2)^2+eta*n*p_1*(1-p_1)+(1-eta)*n*p_2*(1-p_2)$ (9)
Tombola ragazzi!… La (9) è della massima importanza per un semplice motivo: la presenza del termine $ n^2*eta*(1-eta)*(p_1-p_2)^2$ che ‘allarga’ di molto la distribuzione quando si hanno valori differenti $p_1$ e $p_2$…
Hmmmmm!!!…
proviamo con un bell’esempio, di quelli che servono a capire subito certi ‘andazzi’… Supponiamo che ogni postino debba recapitare $n=1000$ lettere e che in media le lettere contenenti denaro siano $3$ su $100$. Supponiamo poi che vi siano in media la metà dei postini ‘onesti’ e l’altra metà ‘disonesti’ e che questi ultimi in media ‘prosciugano’ $2$ buste contenenti denaro su $3$. Abbiamo così $eta=1/2$, $p_1=.03$, $p_2=.01$. Ciò ci consente di calcolare la distribuzione $P_(n,k)$ con la (1). Essa è la curva disegnata in nero nel seguente diagramma…
Le formule prima viste ci consentono di calcolare la media e la varianza…
$mu=E[k]=n*(p_1+p_2)/2= 20$
$sigma^2=n^2/4*(p_1-p_2)^2+n/2*[p_1*(1-p_1)+p_2*(1-p_2)]= 119.5$ (10)
Il valore della varianza è estremamente elevato, non trovate?… Soprattutto se facciamo il confronto con la distribuzione che si ha con $n=1000$, $p=.02$ ed $eta=1$ [vale a dire postini tutti ‘onesti’…], rappresentata dalla curva in rosso di figura. Per essa è…
$mu=E[k]=n*p= 20$
$sigma^2=n*p*(1-p)=19.6$ (11)
Perdindidirindina ragazzi!… mentre la media è la stessa nei due casi la differenza della varianza è addirittura macroscopica!… in questo caso proprio il valore ‘abnorme’ della varianza in rapporto alla media ci consente di dire che siamo in presenza di una truffa di vaste proporzioni!… Oh yes, boys!!!…
A proposito… per caso qualcuno di voi ricorda il thread seguente, da me postato sul forum generale?…
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... sc&start=0
Lì potete vedere una figura che ricorda vagamente [anche se non ugualmente ‘appariscente’…] la figura di sopra…
Anche qui, proprio come nel caso dei postini di Manlolestlanka, siamo in presenza di una distribuzione statistica con il valore della varianza ‘troppo alto’ se rapportato alla media…. Ragazzi, mi sa tanto che la soluzione dell’arcano è molto vicina…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
dopo un periodo di piacevole ricreazione torniamo ad occuparci dei postini di Manolestlanka. Nella precedente puntata abbiamo supposto che tutti i postini siano disonesti ed abbiamo visto che in tal caso non è possibile ‘smascherarli’. Facciamo ora una ipotesi più realistica e cioè che non proprio tutti siano ‘disonesti’ e di essi una certa percentuale $eta$ con $0<=eta<=1$ siano invece ‘onesti’ vale a dire anche se si accorgono che una busta contiene denaro la recapitano senza toccarne il contenuto. In questo caso se chiamiamo $p$ la probabilità che una busta arrivata a Manolestlanka contenga del denaro, sarà $p_1=p$ la probabilità che contenga ancora denaro se il postino è ‘onesto’, $p_2
$P_(n,k)= ((n),(k))*[eta*p_1^k*(1-p_1)^(n-k)+(1-eta)*p_2^k*(1-p_2)^(n-k)]$ (1)
Fin qui tutto ‘semplice’ e non ci sono problemi. Ora proviamo a calcolare dalla (1) i valori $mu=E[k]$ e $sigma^2= E[(k-mu)^2]$. Data una distribuzione ‘binomiale standard’ …
$P_(n,k)= ((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)$ (2)
è nota la procedura per il calcolo di $mu$ e $sigma^2$. Senza eccessive difficoltà si trova…
$mu= E[k]= n*p$ (3)
Un poco di difficoltà in più si ha nel calcolo della $sigma^2$. Per questo conviene ricorrere alla formula…
$sigma^2= E[k^2]-E^2[k]$ (4)
Per la distribuzione ‘binomiale standard’ si trova procedendo con pazienza…
$E[k^2] = n*p*(n*p-p+1)$ (5)
… per cui…
$sigma^2=E[k^2]-E^2[k]= n*p*(n*p-p+1)-n^2*p^2= n*p*(1-p)$ (6)
Ok ragazzi!… Ora non resta che seguire la stessa strada partendo dalla (1). Senza lasciarsi prendere dallo scoramento cominciamo dal valor medio...
$mu=E[k]=n*[eta*p_1+(1-eta)*p_2]$ (7)
Con pazienza ed attenzione calcoliamo ora $E[k^2]$. Senza morirci sopra si trova…
$E[k^2]= n^2*[eta*p_1*(n*p_1-p_1+1)+(1-eta)*p_2*(n*p_2-p_2+1)]$ (8)
A questo punto siamo in porto ragazzi. Basta fare una differenza e si trova, con un poco di semplificazioni…
$sigma^2= E[k^2]-mu^2= n^2*eta*(1-eta)*(p_1-p_2)^2+eta*n*p_1*(1-p_1)+(1-eta)*n*p_2*(1-p_2)$ (9)
Tombola ragazzi!… La (9) è della massima importanza per un semplice motivo: la presenza del termine $ n^2*eta*(1-eta)*(p_1-p_2)^2$ che ‘allarga’ di molto la distribuzione quando si hanno valori differenti $p_1$ e $p_2$…
Hmmmmm!!!…
proviamo con un bell’esempio, di quelli che servono a capire subito certi ‘andazzi’… Supponiamo che ogni postino debba recapitare $n=1000$ lettere e che in media le lettere contenenti denaro siano $3$ su $100$. Supponiamo poi che vi siano in media la metà dei postini ‘onesti’ e l’altra metà ‘disonesti’ e che questi ultimi in media ‘prosciugano’ $2$ buste contenenti denaro su $3$. Abbiamo così $eta=1/2$, $p_1=.03$, $p_2=.01$. Ciò ci consente di calcolare la distribuzione $P_(n,k)$ con la (1). Essa è la curva disegnata in nero nel seguente diagramma… Le formule prima viste ci consentono di calcolare la media e la varianza…
$mu=E[k]=n*(p_1+p_2)/2= 20$
$sigma^2=n^2/4*(p_1-p_2)^2+n/2*[p_1*(1-p_1)+p_2*(1-p_2)]= 119.5$ (10)
Il valore della varianza è estremamente elevato, non trovate?… Soprattutto se facciamo il confronto con la distribuzione che si ha con $n=1000$, $p=.02$ ed $eta=1$ [vale a dire postini tutti ‘onesti’…], rappresentata dalla curva in rosso di figura. Per essa è…
$mu=E[k]=n*p= 20$
$sigma^2=n*p*(1-p)=19.6$ (11)
Perdindidirindina ragazzi!… mentre la media è la stessa nei due casi la differenza della varianza è addirittura macroscopica!… in questo caso proprio il valore ‘abnorme’ della varianza in rapporto alla media ci consente di dire che siamo in presenza di una truffa di vaste proporzioni!… Oh yes, boys!!!…
A proposito… per caso qualcuno di voi ricorda il thread seguente, da me postato sul forum generale?…
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... sc&start=0
Lì potete vedere una figura che ricorda vagamente [anche se non ugualmente ‘appariscente’…] la figura di sopra…
Anche qui, proprio come nel caso dei postini di Manlolestlanka, siamo in presenza di una distribuzione statistica con il valore della varianza ‘troppo alto’ se rapportato alla media…. Ragazzi, mi sa tanto che la soluzione dell’arcano è molto vicina…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Un appunto su un modo decisamente piu' elegante e semplice per derivare la formula
Definiamo un "miracolo" l'evento che consiste nello scampare, da parte di una busta con denaro, dalla svuotatura di un postino disonesto. Se $\alpha$ e' la probabilita' che un busta contenga denaro e $\gamma$ e' la probabilita' che un postino disonesto non svuoti una busta contenente denaro, la probabilita' che si verifichi un miracolo e' chiaramente $\alpha\gamma$. Inoltre la probabilita' che su $n$ lettere ne arrivino $k$ contenenti denaro e' uguale alla probabilita' che si verifichino esattamente $k$ miracoli, ovvero:
$((n),(k))(\alpha\gamma)^k(1-\alpha\gamma)^(n-k)$
Per quanto riguarda il resto, attendo con curiosità le conclusioni di lupo grigio...
"lupo grigio":
$P_(n,k)= ((n),(k))*alpha^k*gamma^k*(1-alpha*gamma)^(n - k)$ (4)
Definiamo un "miracolo" l'evento che consiste nello scampare, da parte di una busta con denaro, dalla svuotatura di un postino disonesto. Se $\alpha$ e' la probabilita' che un busta contenga denaro e $\gamma$ e' la probabilita' che un postino disonesto non svuoti una busta contenente denaro, la probabilita' che si verifichi un miracolo e' chiaramente $\alpha\gamma$. Inoltre la probabilita' che su $n$ lettere ne arrivino $k$ contenenti denaro e' uguale alla probabilita' che si verifichino esattamente $k$ miracoli, ovvero:
$((n),(k))(\alpha\gamma)^k(1-\alpha\gamma)^(n-k)$
Per quanto riguarda il resto, attendo con curiosità le conclusioni di lupo grigio...
Ovviamente le 'conclusioni' si tireranno nella sede più addatta, vale a dire in...
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20226
E quello che attendo io con 'curiosità' è il tenore dei 'commenti' che arriveranno dai vari 'Giovannini'
...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20226
E quello che attendo io con 'curiosità' è il tenore dei 'commenti' che arriveranno dai vari 'Giovannini'
... cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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