Poset e mappe aperte

[marco.guillermaz]

Buongiorno, sono nuovo del sito, e vorrei porre una domanda, sperando che qualcuno mi sappia rispondere.
Sto effettuando una dimostrazione per un esercizio, in cui mi viene chiesto di dimostrare che :

Sia f : P --> Q una mappa aperta dal poset P al poset Q

Devo dimostrare che questa funzione è monotona.

Sono giunto alla connessione tra funzione monotona e poset, ma ho dei problemi a trovare il collegamento con le mappe aperte, di cui so solo questo:

Una f : P --> Q si dice aperta se per ogni x che appartiene a P:

f (downset di x) = downset (f(x))

non riesco a capire bene cos'è un downset di un insieme e poi la connessione con la monotonia.

Grazie a chiunque mi saprà dare una mano

[Lord K]

Come nel caso dei gruppi, nel caso dei reticoli (di seguito da me chiamati Lattice) si cercano e si usano delle funzioni che preservano la struttura. Un lattice in generale è un insieme parzialmente ordinato (p.o. set) e per passare da un insieme ad una altro con il mantenimento della struttura si cercano appunto queste funzioni.

Osserva che una funzione [tex]f:P \to Q[/tex] è monotona se è tale che [tex]x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y)[/tex] oppure [tex]x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y)[/tex].

Il downset di un insieme è definito come nel seguente link.

[marco.guillermaz]

Innanzitutto ti ringrazio per la risposta, ho visionato i reticoli e i poset e in effetti c'è una forte connessione. L'ultima domanda che ti pongo è siccome devo dimostrarlo con un esempio e devo partire dal dimostrare che è una mappa aperta quindi collegata ai downset, come lo dimostreresti tu. Sinceramente ci ho perso un po' di tempo, ma ho delle difficoltà.

Ti ringrazio per il tempo che mi dedichi.