Polinomio riducibile

[ansioso]

Si stabilisca se il polinomio $f(x)=x^2+x+1$ è riducibile in $RR[x]$,$ZZ_3[x]$; e se $g(x)=x^4-5x^2+6 $ è riducibile o meno in R[x] Premetto che è la prima votla che cerco di fare questo tipo di esercizi...

Per verificare se $f(x)$ è riducibile devo vedere se esistono radici del polinomio in $RR[x]$,$ZZ_3[x]$, diverse da 1 e dal polinomio steso;

Tramite ruffini devo vedere se tale polinomio è divisile per (x-r) dove r sono le radici che dividono il temrine noto 1, ovvero {1;-1}
In questo caso tale polinomio non è divisibile in $RR[x]$ e il polinomio è irridubicile...

In $ZZ_3[x]$ avrei da vedere se il polinomio $x^2+x-2$ ammette radici per -2 e sono in questo caso {1,-2}
In questo casa tale polinomio è divisibile in $ZZ_3$ e i polinomio che lo divide sono $(x-1);(x+2)$

per il polinomio g(x) le radici che dividono il termine noto 6 sono $r{\pm1,\pm2,\pm3}$
ma nessuna delle sei radici da come resto 0 alla divisione con ruffini del polinomio g(x) per r...quindi il polinomio è irriducibile

EH... io ho finito (di dire cretinate) per questo posto
Correggetemi insultatemi e se mi aiutate a capire grazie ^_^

[Studente Anonimo]

[mod="Martino"]Sposto in algebra. Attenzione alla sezione. Grazie.[/mod]

[ansioso]

E' jà la seconda scusa... l'esame che sto preparando +è sempre quello... pensavo pure la sezione

[mistake89]

"ansioso":Si stabilisca se il polinomio $f(x)=x^2+x+1$ è riducibile in $RR[x]$,$ZZ_3[x]$; e se $g(x)=x^4-5x^2+6 $ è riducibile o meno in R[x] Premetto che è la prima votla che cerco di fare questo tipo di esercizi...

Per verificare se $f(x)$ è riducibile devo vedere se esistono radici del polinomio in $RR[x]$,$ZZ_3[x]$, diverse da 1 e dal polinomio steso;

Tramite ruffini devo vedere se tale polinomio è divisile per (x-r) dove r sono le radici che dividono il temrine noto 1, ovvero {1;-1}
In questo caso tale polinomio non è divisibile in $RR[x]$ e il polinomio è irridubicile...

Essendo un polinomio di secondo grado se si fattorizza lo farà in due polinomi di primo grado, quindi deve ammettere almeno una radice.
Quelle che cerchi sono le radici razionali, ma non è detto che le radici che cerchiamo lo siano. In questo caso è molto semplice verificare che è irriducibile su $RR$; formula risolutiva di un'equazione di secondo grado!!!

In $ZZ_3[x]$ avrei da vedere se il polinomio $x^2+x-2$ ammette radici per -2 e sono in questo caso {1,-2}
In questo casa tale polinomio è divisibile in $ZZ_3$ e i polinomio che lo divide sono $(x-1);(x+2)$

Verificare che sia irriducibile su $ZZ_3$ è ancora più semplice. Hai a disposizione $3$ elementi, provali e vedi un pò! Questa cosa dei divisori del termine noto sui divisori del coefficiente direttore dovrebbe funzionare solo per le radici razionali (non ne sono sicurissimo ma credo di sì!).
Osserva inoltre che la tua fattorizzazione puoi scriverla meglio come $(x-1)^2$

per il polinomio g(x) le radici che dividono il termine noto 6 sono $r{\pm1,\pm2,\pm3}$
ma nessuna delle sei radici da come resto 0 alla divisione con ruffini del polinomio g(x) per r...quindi il polinomio è irriducibile

EH... io ho finito (di dire cretinate) per questo posto
Correggetemi insultatemi e se mi aiutate a capire grazie ^_^

Qui invece è sbagliato il concetto di irriducibilità che hai in mente. Non è affatto detto che un polinomio per essere riducibile debba fattorizzarsi in fattori lineari. Ciò vale solamente per i polinomi di grado $2,3$ e per il th. di Ruffini sapendo che $x-b$ divide il polinomio se e solo se $b$ è radice, allora cerchiamo le radici. Ma in generale non è detto che debba essere così.
Devi sapere che in $RR_[x]$ i polinomi irriducibili sono tutti e soli quelli di grado $1$ e quelli di grado $2$ privi di radici reali.
Pertanto il nostro polinomio si fattorizzerà in due polinomi di secondo grado. Per far ciò prendi il tuo polinomio ed eguaglialo al prodotto di due generici polinomi di secondo grado $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ ed imponi che i singoli coefficienti eguaglino il tuo polinomio $g$.

Stessa identica cosa su $ZZ_3$. Qui però potrebbe essere irriducibile. Muoviti come prima, ma attenzione a considerare i coefficienti modulo $3$