Polinomio prodotto fattori irriducibili

[gaten]

$x^4-6x^2+9$ come può essere scritto come prodotto di fattori irriducibili in $R[x], Q[x]$ e $Z_5[x]$ ???

[martina.c1]

Se non sbaglio si dovrebbe fare così:
$x^4 -6x^2 + 9 = (x^2 - 3)^2 = (x^2 - 3)(x^2 - 3)$. Su $\mathbb{Q}$ questi due fattori non sono ulteriormente riducibili per il criterio di Eisenstein. Su $\mathbb{R}$ si ha \((x^2 - 3)(x^2 - 3) = (x-\sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\).
Infine in $\mathbb{Z_5}$ i quadrati sono $1$ e $4$, quindi i due fattori sopra non sono ulteriormente riducibili.
Ti sembra che possa andar bene?

[Kashaman]

"martina.c":Se non sbaglio si dovrebbe fare così:
$x^4 -6x^2 + 9 = (x^2 - 3)^2 = (x^2 - 3)(x^2 - 3)$. Su $\mathbb{Q}$ questi due fattori non sono ulteriormente riducibili per il criterio di Eisenstein.

Più semplicemente, invece di invocare Einstein , poiché $deg(f)=2$. basta dire che il polinomio $f=x^2-3$ non ha radici in $QQ$.
Infatti, se $\alpha $ è radice di $f$, si avrebbe che
$f(\alpha)=0=> \alpha^2=3 => \alpha=sqrt3 $, che certamente non è un elemento di $Q$. Più semplice no? meno ipotesi da verificare.