Polinomio minimo

[ale.b14]

Allora, si tratta di determinare il polinomio minimo di $\alpha :=sqrtp+sqrtq+sqrtr$ su $\mathbb{Q}$ dove $p,q,r$ sono primi distinti.
Con una marea di conti si arriva a trovare un polinomio orrendo di grado 8 che soddisfa $\alpha$, ma non riesco a dimostrare che poi questo sia irriducibile.
C'è un modo per dimostrare che il polinomio minimo che cerco ha effettivamente grado 8?Altrimenti, a qualcuno viene in mente un metodo più intelligente e con magari meno conti?

[Principe2]

mi verrebbe da dire che "evidentemente" per togliere tre radici quadrate "indipendenti" devi fare tre estensioni di grado due, ovvero una di grado otto... ma mi rendo conto che non e' molto formale

[maurer]

Quali strumenti hai? Con la teoria di Galois è un gioco da bambini mostrare che il tuo polinomio di grado 8 è irriducibile, ma se non hai Galois a disposizione è un bel po' più incasinato e, obiettivamente, non so come fare.

[ale.b14]

no, preferirei non cannoneggiare... è un esercizio che mi è stato proposto praticamente dopo aver definito estensioni di campi e poco più! vorrei usare meno teoria possibile!