Polinomio minimo
Sia $\alpha$ una radice complessa del polinomio $X^3-X+1$. Determinare il polinomio minimo di $2-\alpha^2$ su $QQ$.
Non ho idea di come procedere...
Non ho idea di come procedere...
Risposte
Hehe, se ne sta proprio discutendo in questi giorni, sai? 
Vediamo se riesco a spiegarmi. L'estensione $\QQ(alpha)$ ha grado 3 su $QQ$, sei d'accordo? Quindi $QQ(alpha)$ come spazio vettoriale su $QQ$ ha dimensione 3 e una base è data da $(1, alpha, alpha^2)$.
Tu adesso vuoi determinare il polinomio minimo di $beta=2-alpha^2$ su $QQ$. Per prima cosa, ti faccio notare che anche il grado di $beta$ su $QQ$ è 3 e quindi $QQ(beta)=QQ(alpha)$. Osserva, a questo proposito, che [tex]\beta=2-\alpha^{2}[/tex] (usando l'equazione di partenza) diventa [tex]\beta=(\alpha+1)\alpha^{-1}[/tex] (o anche [tex]\alpha=(\beta-1)^{-1}[/tex]: in questo modo concludi facilmente l'uguaglianza fra i due campi).
Allora, per il tuo polinomio minimo, l'idea è cercare una relazione lineare tra $1, beta, beta^2, beta^3$ (espressi usando gli $alpha$). Cioè, tu calcoli chi sono $beta, beta^2, beta^3$ espressi mediante $alpha$ e poi imponi che $beta^3+abeta^2+b beta+c=0$ (il polinomio minimo è per definizione monico).
Imponendo le condizioni (ricorda che la base di $QQ(alpha)$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti) trovi un sistema lineare tre equazioni tre incognite. Risolvendolo, hai i coefficienti del tuo polinomio minimo.
E' un po' più chiaro? Se hai domande siamo qui.
Vediamo se riesco a spiegarmi. L'estensione $\QQ(alpha)$ ha grado 3 su $QQ$, sei d'accordo? Quindi $QQ(alpha)$ come spazio vettoriale su $QQ$ ha dimensione 3 e una base è data da $(1, alpha, alpha^2)$.
Tu adesso vuoi determinare il polinomio minimo di $beta=2-alpha^2$ su $QQ$. Per prima cosa, ti faccio notare che anche il grado di $beta$ su $QQ$ è 3 e quindi $QQ(beta)=QQ(alpha)$. Osserva, a questo proposito, che [tex]\beta=2-\alpha^{2}[/tex] (usando l'equazione di partenza) diventa [tex]\beta=(\alpha+1)\alpha^{-1}[/tex] (o anche [tex]\alpha=(\beta-1)^{-1}[/tex]: in questo modo concludi facilmente l'uguaglianza fra i due campi).
Allora, per il tuo polinomio minimo, l'idea è cercare una relazione lineare tra $1, beta, beta^2, beta^3$ (espressi usando gli $alpha$). Cioè, tu calcoli chi sono $beta, beta^2, beta^3$ espressi mediante $alpha$ e poi imponi che $beta^3+abeta^2+b beta+c=0$ (il polinomio minimo è per definizione monico).
Imponendo le condizioni (ricorda che la base di $QQ(alpha)$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti) trovi un sistema lineare tre equazioni tre incognite. Risolvendolo, hai i coefficienti del tuo polinomio minimo.
E' un po' più chiaro? Se hai domande siamo qui.
non sono tanto convinto che $QQ(beta)=QQ(alpha)$, io so che $QQ(beta)subeQQ(alpha)$, da qui so che la dimenzione di $QQ(beta)$ come $QQ$ spazio vettoriale divide $3$, scarto la possibilità che sia di grado $1$ perchè arrivo a un assurdo.
Ora, se è di grado $3$ la base di $QQ(beta)$ non sarà $1, beta, beta^2$?
Ora, se è di grado $3$ la base di $QQ(beta)$ non sarà $1, beta, beta^2$?
"nato_pigro":
non sono tanto convinto che $QQ(beta)=QQ(alpha)$, io so che $QQ(beta)subeQQ(alpha)$, da qui so che la dimenzione di $QQ(beta)$ come $QQ$ spazio vettoriale divide $3$, scarto la possibilità che sia di grado $1$ perchè arrivo a un assurdo.
Sì, ma da quanto ti ho scritto sopra vale anche l'inclusione opposta: $alpha = (beta-1)^{-1} in QQ(beta)$ e quindi $QQ(alpha) subseteq QQ(beta)$, da cui l'uguaglianza.
Ora, se è di grado $3$ la base di $QQ(beta)$ non sarà $1, beta, beta^2$?
Sì, certo, ma questo non ti interessa. Tu devi trovare un polinomio monico di terzo grado (=grado dell'estensione) che si annulli in $beta$: hai capito?
Non ho capito tanto il discorso $\beta=(\alpha+1)\alpha^(-1)$.
Io faccio i conti sostituendo $\beta=2-\alpha^2$ a $beta^3+abeta^2+b beta+c=0$
mi vengono termini come $\alpha^8$ e $\alpha^4$, mi ricordo che $\alpha^3-\alpha+1=0$ quindi ho che $\alpha^4=\alpha^2-\alpha$ e $\alpha^8=2\alpha^2+3\alpha+2$, sostituisco e che so $1, \alpha, \alpha^2$ sono una base e mi viene che il polinomio è $X^3+9X^2+43X+40$. Quei numeroni però mi spaventano, c'è un modo veloce per sapere se è giusto?
Io faccio i conti sostituendo $\beta=2-\alpha^2$ a $beta^3+abeta^2+b beta+c=0$
mi vengono termini come $\alpha^8$ e $\alpha^4$, mi ricordo che $\alpha^3-\alpha+1=0$ quindi ho che $\alpha^4=\alpha^2-\alpha$ e $\alpha^8=2\alpha^2+3\alpha+2$, sostituisco e che so $1, \alpha, \alpha^2$ sono una base e mi viene che il polinomio è $X^3+9X^2+43X+40$. Quei numeroni però mi spaventano, c'è un modo veloce per sapere se è giusto?
"nato_pigro":
Non ho capito tanto il discorso $\beta=(\alpha+1)\alpha^(-1)$.
Da $beta=2-alpha^2$ moltiplichi per $alpha$ e ottieni $\beta\alpha=2alpha-alpha^{3}$, sostituendo ad $alpha^3$ l'espressione data dall'equazione ottieni o $beta=(alpha+1)alpha^{-1}$ oppure, esplicitando rispetto ad $alpha$, $alpha=1/(beta-1)$.
Adesso è più chiaro? Hai capito perchè affermo che $beta in QQ(alpha)$ (e viceversa)?
Io faccio i conti sostituendo $\beta=2-\alpha^2$ a $beta^3+abeta^2+b beta+c=0$
mi vengono termini come $\alpha^8$ e $\alpha^4$, mi ricordo che $\alpha^3-\alpha+1=0$ quindi ho che $\alpha^4=\alpha^2-\alpha$ e $\alpha^8=2\alpha^2+3\alpha+2$, sostituisco e che so $1, \alpha, \alpha^2$ sono una base e mi viene che il polinomio è $X^3+9X^2+43X+40$. Quei numeroni però mi spaventano, c'è un modo veloce per sapere se è giusto?
Dovrebbe essere giusto, sicuramente il ragionamento lo è. Quanto a una verifica rapida non mi viene in mente nulla...
capito. grazie 
Prego, figurati. Spero solo di non averti detto scemenze.
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