Polinomio Irriducibile

[trew1]

Ciao ragazzi, ho un quesito da porvi: il polinomio x^3+x^2+1=0 è un polinomio irriducibile su Z2??

so per certo che il polinomio x^3+x+1 lo è, in quanto non ha alcuna radice in Z2, ma nemmeno x^3+x^2+1=0 ne ha, eppure non sono del tutto convinto che si irriducibile.

sapreste inoltre fornirmi un metodo "standard" per capire se un polinomio è riducibile oppure no?

[Gi81]

"trew":Ciao ragazzi, ho un quesito da porvi: il polinomio x^3+x^2+1=0 è un polinomio irriducibile su Z2??

Quello non è un polinomio, è una equazione.

Abbiamo il polinomio $p(x)=x^3+x^2+1$ e vogliamo sapere se è irriducibile.
Siccome è di grado $3$, vedere se è irriducibile equivale a verificare se ha radici (questa proprietà vale sempre, in qualunque campo)
Ma, come hai detto giustamente tu, $p(x)$ non ha radici in $ZZ_2$

[trew1]

"Gi8":[quote="trew"]Ciao ragazzi, ho un quesito da porvi: il polinomio x^3+x^2+1=0 è un polinomio irriducibile su Z2??

Quello non è un polinomio, è una equazione.
[/quote]

si hai ragione, errore mio, mi sono confuso durante la scrittura..

A questo punto però mi sorge un altro dubbio: in GF(8), quando vado a determinare la tavola della moltiplicazione, quello che io voglio trovare è il prodotto modulo 2. Meccanicamente, al fine di esercizio, quello che devo fare è dividere il polinomio risultante dal prodotto dei 2 polinomi relativi ai 2 "vettori" (o "elementi" di GF(8), non saprei come altro chiamarli) che sto consederando, per un polinomio irriducibile in Z2 di grado tre (in quanto stiamo lavorando in un campo di Galois di ordine 2^3 ) e considerarne il resto. Ora però, se ho 2 polinomi irriducibili diversi, il resto della divisione è necessariamente diverso, e la tavola della moltiplicaione varia secondo il polinomio considerato... è giusto così o mi manca qualche passaggio???

scusate il discorso molto contorto, ho cercato di riassumere velocemente quello che avevo in testa. se (come è molto probabile), c'è qualcosa che non è chiaro, cerco di riformulare il problema...