Polinomio in $ZZ_(35)$ e sue radici
Ciao ragazzi,
ho qualche dubbio sulla risoluzione di questo esercizio:
Determinare tutte le eventuali radici in $ZZ_35$ del polinomio $f(x) =x^(28) + 1 \in ZZ_(35)[x]$
si potrebbe agire "spezzando" il polinomio in un sistema
$ { ( x^(28)\equiv-1mod5 ),( x^(28)\equiv-1mod7 ):} $
è giusto tradurlo in questo modo?
ho qualche dubbio sulla risoluzione di questo esercizio:
Determinare tutte le eventuali radici in $ZZ_35$ del polinomio $f(x) =x^(28) + 1 \in ZZ_(35)[x]$
si potrebbe agire "spezzando" il polinomio in un sistema
$ { ( x^(28)\equiv-1mod5 ),( x^(28)\equiv-1mod7 ):} $
è giusto tradurlo in questo modo?
Risposte
Confondi polinomio con funzione polinomiale. Non puoi fare come hai fatto a meno che tu non giustifichi opportunamente questo passaggio. Spiega meglio quel passaggio che hai fatto, cosa te lo permette? Sicuro di non aver omesso qualche particolare?
L'idea è quella di lavorare su un sistema che lavori mod 5 e 7
Il passaggio fatto prima immaginavo non fosse esatto.
Ma dopo aver posto $x^28+1=0$ per trovare le sue radici non so come continuare
Il passaggio fatto prima immaginavo non fosse esatto.
Ma dopo aver posto $x^28+1=0$ per trovare le sue radici non so come continuare
Lo è a patto che fai una dovuta giustificazione, quando eguagli a zero di fatto stai considerando il polinomio valutato e non il polinomio in se, di fatto quindi una equazione in $ZZ _ 35$. Non so se mi sono spiegato. In luogo di $x^(28)+1=0$ scrivi $a^(28)+1=0$ onde evitare fraintendimenti, dove il nostro $a \in ZZ_35$ . ( Puoi suppore a non nulla visto che la classe nulla non è soluzione)
A questo punto puoi usare il teorema cinese come giustamente stavi facendo, per poi utilizzare opportunamente Fermat. (*)
Dubbi?
(*) come vedi la tua idea era buona, salvo l'errore concettuale che hai fatto. Ciò che "spezzi" è l'equazione, non il polinomio.
A questo punto puoi usare il teorema cinese come giustamente stavi facendo, per poi utilizzare opportunamente Fermat. (*)
Dubbi?
(*) come vedi la tua idea era buona, salvo l'errore concettuale che hai fatto. Ciò che "spezzi" è l'equazione, non il polinomio.
Prima di tutto GRAZIE 
Dunque, se ho ben capito la traccia mi chiede di determinare le eventuali radici in $ZZ_35$ del polinomio $f(x)=x^(28)+1$ quindi per poter applicare il teorema cinese del resto e quindi Fermat, devo prendere in considerazione la funzione polinomiale $a^(28)+1=0$ in questo caso lo zero sarà in realtà la classe di resto 0 modulo 35 e quindi potrò dire che equivale a $a^(28)\equiv-1mod35$ e di qui poi impostare un sistema di questo tipo $ { ( a^(28)\equiv-1mod5 ),( a^(28)\equiv-1mod7 ):} $
che ne pensi di questa "riformulazione" ?
"Kashaman":
Lo è a patto che fai una dovuta giustificazione, quando eguagli a zero di fatto stai considerando il polinomio valutato e non il polinomio in se, di fatto quindi una equazione in $ZZ _ 35$. Non so se mi sono spiegato. In luogo di $x^(28)+1=0$ scrivi $a^(28)+1=0$ onde evitare fraintendimenti, dove il nostro $a \in ZZ_35$ . ( Puoi suppore a non nulla visto che la classe nulla non è soluzione)
Dunque, se ho ben capito la traccia mi chiede di determinare le eventuali radici in $ZZ_35$ del polinomio $f(x)=x^(28)+1$ quindi per poter applicare il teorema cinese del resto e quindi Fermat, devo prendere in considerazione la funzione polinomiale $a^(28)+1=0$ in questo caso lo zero sarà in realtà la classe di resto 0 modulo 35 e quindi potrò dire che equivale a $a^(28)\equiv-1mod35$ e di qui poi impostare un sistema di questo tipo $ { ( a^(28)\equiv-1mod5 ),( a^(28)\equiv-1mod7 ):} $
che ne pensi di questa "riformulazione" ?
La riformulazione presenta ancora imperfezioni, cercherò di essere ancora più chiaro.
Intuitivamente , considerato un anello $A$ , un polinomio di grado n a coefficienti in $A$ è una "scrittura formale" del tipo $ \sum_{i=1}^n a_n x^n$ e in generale si usa denotarlo con $f(X)$. Per una definizione "rigorosa" ti rimando qui : http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete4/al ... ione10.pdf .
Una funzione polinomiale invece è una funzione $f : A -> A , x \rightarrow \sum_{i=1}^n a_n x^n$, in generale si usa denotarla con $f(x)$.
Il problema del tuo esercizio è quello di determinare gli zeri di f , tutto qui.
Quindi è scorretto dire che la tua funzione polinomiale sarà nulla, come hai detto, bensì devi ricercare dove essa si annulla.
Intuitivamente , considerato un anello $A$ , un polinomio di grado n a coefficienti in $A$ è una "scrittura formale" del tipo $ \sum_{i=1}^n a_n x^n$ e in generale si usa denotarlo con $f(X)$. Per una definizione "rigorosa" ti rimando qui : http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete4/al ... ione10.pdf .
Una funzione polinomiale invece è una funzione $f : A -> A , x \rightarrow \sum_{i=1}^n a_n x^n$, in generale si usa denotarla con $f(x)$.
Il problema del tuo esercizio è quello di determinare gli zeri di f , tutto qui.
Quindi è scorretto dire che la tua funzione polinomiale sarà nulla, come hai detto, bensì devi ricercare dove essa si annulla.
"duombo":
...devo prendere in considerazione la funzione polinomiale $a^(28)+1=0$ in questo caso lo zero sarà in realtà la classe di resto 0 modulo 35 e quindi potrò dire che equivale a $a^(28)\equiv-1mod35$ e di qui poi impostare un sistema di questo tipo $ { ( a^(28)\equiv-1mod5 ),( a^(28)\equiv-1mod7 ):} $ ...
con questa frase, quello che intendo dire è che devo cercare i valori di $a$ per cui $f$ si annulla, e utilizzo quel procedimento per poterlo fare, o è sbagliato?
è giusto
"duombo":
trovare le radici del polinomio $f(x) =x^(28) + 1 \in ZZ_(35)[x]$
Dimostro che per ogni $a in ZZ$ ,$a^(28)+1$ non è mai multiplo di $5$, dunque non è nemmeno multiplo di $35$.
Se $a-= 0 (mod 5)$ si ha $a^(28)+1-=1 (mod 5)$.
Se $a!=0 (mod 5)$ si ha $a^4-=1 (mod 5)=> a^(28)=(a^4)^7-=1^7=1=> a^(28)+1-=2 (mod 5)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo