Polinomio e divisore di zero in un campo

duombo
Ciao a tutti, vi sottopongo questo esercizio con la soluzione che ho dato sperando che mi confermiate che è esatta :)

L'esercizio è questo:

Sia $f(x) = x^(202) + 76 \in Z_(101)[x]$ e poniamo $A = Z_(101)[x]$/$(f)$.
(1) Dire se A è o meno un campo;
(2) dire se $\alpha = [x^2 + 1]_f$ è o meno un divisore di zero in A.

Per rispondere al punto (1):
A è un campo se e solo se il polinomio $f(x)$ è irriducibile, per vedere se è irriducibile posso usare il criterio di Eisenstein
quindi trovo un primo $p$ che non divide 1 (il coefficiente di $x^202$) ma che divide 76, trovo che 19 divide 76 ma non divide 1 quindi posso dire che il polinomio $f(x)$ è irriducibile

Per il punto (2):
considerando che
È impossibile, se A è un campo, che risulti $a(x)·b(x) = 0$ se $a(x)!=0$, e $b(x)!=0$, quindi in $A[x]$ non
esistono divisori dello 0.

dal momento che $x^2+1$ non ha soluzioni in $Z$ posso dire che non esistono divisori dello zero?

che ne pensate?

Risposte
Edex1
Ciao :)
Guarda, spero di non sbagliarmi, ma Eisenstein lo puoi usare solo se il polinomio appartiene a $ZZ[x]$.
Infatti se consideri $U(ZZ_(101)[x])$ (l'insieme degli invertibili di $ZZ_(101)$) noti che ha cardinalità $100$ in quanto $101$ è primo.
Ne segue che $forall x in U(ZZ_(101)) rightarrow x^100 = 1 mod 101$. Quindi quando sostituisci un qualsiasi numeri diverso da zero in $x^202 + 76$ ottieni $x^2 + 76$ che è congruo a $0 mod 101$ se poni $x = 5$. Quindi quel polinomio è riducibile in $ZZ_(101)[x]$.
Spero di non aver scritto cavolate :D

duombo
Benissimo allora non ci ho capito una mazza del punto (2) :P ma lo guardo tra un po', ora sono preso con un esercizio sui grafi :)

Del punto (1) che mi dici? ti sembra corretta la soluzione?

Edex1
Forse mi sono espresso male, è proprio del punto (1) che parlavo: $x^202 + 76$ non è irriducibile, quindi il quoziente non è un campo! :)
Ne segue che quella classe di equivalenza può essere divisore dello zero.
Per vedere se lo è dovresti calcolare l'M.C.D. di $f$ e $x^2+1$, ma è un pò difficile visto il grado di $f$.
Puoi però ragionare così: $101 = 1 mod 4$ quindi esiste $h in Z_101$ t.c. $h^2 = -1 mod 101 rightarrow x^2+1 = (x+h)(x-h)$ quindi l'M.C.D. fra $f$ e $x^2+1$ deve essere uno fra questi due. Sai andare avanti? :D

Epimenide93
"Edex":
Guarda, spero di non sbagliarmi, ma Eisenstein lo puoi usare solo se il polinomio appartiene a $ZZ[x]$.

Chiaramente dipende da come viene enunciato, ma vale in qualsiasi UFD.

"Serge Lang - Undergraduate Algebra, p.149":1f67u0a6:

Let \(R\) be a factorial ring, and let \(K\) be its quotient field. Let \[f(t) = a_nt^n + \cdots + a_0\] be a polynomial of degree \( n \geq 1 \) with coefficients in \(R\). Let \(p\) be a prime, and assume \[a_n \not\equiv 0 ({\rm mod} \ p), \quad a_i \equiv 0 ({\rm mod} \ p) \ for \ all \ i < n, \quad a_0 \not\equiv 0 ({\rm mod} \ p^2). \] Then \(f\) is irreducible over \(K\).


EDIT mi è stata fatta notare una possibile ambiguità, aggiungo: chiaramente quando si parla di primo si intende elemento primo dell'UFD in questione, non numero primo.

duombo
"Edex":
...
Sai andare avanti? :D

Ecco è la prova che non ho capito nulla! :)

Provo ad andare avanti e posto il tentativo non appena posso, cmq grazie Edex

duombo
"Edex":
Guarda, spero di non sbagliarmi, ma Eisenstein lo puoi usare solo se il polinomio appartiene a $ZZ[x]$.

e questo non è il mio caso visto che il polinomio appartiene ad una restrizione di $ZZ$ giusto?

Quindi parafrasando quello che hai scritto tu dovrei ragionare in questo modo:
Dal momento che il mio polinomio $\in ZZ_(101)[x]$ significa che il polinomio invertibile che mi serve (per dimostrare che A è un campo) deve appartenere a $U(ZZ_(101)[x])$
Detto questo considero che $\forall x \in U(ZZ_(101)[x]) -> x^(100) -= 1 mod 101$ in virtù di questo posso semplificare la mia $f(x)$ che sarà equivalente a $x^2 + 76$
Se $x^2 + 76$ è congruo $0mod101$ e dal momento che la congruenza è soddisfatta per $x=5$ posso dire che $f(x)$ non è irriducibile in $ZZ_(101)[x]$ quindi A non è un campo

tutto giusto?

duombo
"Epimenide93":
chiaramente quando si parla di primo si intende elemento primo dell'UFD in questione, non numero primo.

Ciao Epimenide93 cosa intendi con primo nell'UFD?

duombo
"Edex":
Forse mi sono espresso male, è proprio del punto (1) che parlavo: $x^202 + 76$ non è irriducibile, quindi il quoziente non è un campo! :)
Ne segue che quella classe di equivalenza può essere divisore dello zero.


il fatto che la classe di equivalenza possa essere un divisore di zero è conseguenza del fatto che $f(x)$ non è irriducibile?

Edex1
"duombo":

Detto questo considero che $\forall x \in U(ZZ_(101)[x]) -> x^(100) -= 1 mod 101$ in virtù di questo posso semplificare la mia $f(x)$ che sarà equivalente a $x^2 + 76$


Il fatto che $x^100 = 1 mod 101$ $forall x in ZZ_101$ non ti permette di semplificare quel polinomio.
I due polinomi $x^202 + 76$ e $x^2 + 76$ sono differenti, però quando vai a calcolarli in un qualsiasi valore di $ZZ_101$ essi assumono lo stesso valore perchè $x^100 = 1 mod 101$ (in pratica sono la stessa funzione polinomiale.
Il fatto che assumano gli stessi valori ti permette di dire che il polinomio $x^202 + 76$ è riducibile in quanto $x=5$ è una radice.

il fatto che la classe di equivalenza possa essere un divisore di zero è conseguenza del fatto che f(x) non è irriducibile?


Sì esatto, perchè il quoziente non è un campo e quindi potrebbe avere divisori dello zero. Sei riuscito a capire se quel polinomio è divisore dello zero? :)

duombo
"Edex":

Il fatto che $x^100 = 1 mod 101$ $forall x in ZZ_101$ non ti permette di semplificare quel polinomio.
I due polinomi $x^202 + 76$ e $x^2 + 76$ sono differenti, però quando vai a calcolarli in un qualsiasi valore di $ZZ_101$ essi assumono lo stesso valore perchè $x^100 = 1 mod 101$ (in pratica sono la stessa funzione polinomiale.
Il fatto che assumano gli stessi valori ti permette di dire che il polinomio $x^202 + 76$ è riducibile in quanto $x=5$ è una radice.


mi sono espresso male ma è quello che volevo dire :)

sul divisore dello zero ci sto lavorando ora :P

duombo
"Edex":
Forse mi sono espresso male, è proprio del punto (1) che parlavo: $x^202 + 76$ non è irriducibile, quindi il quoziente non è un campo! :)
Ne segue che quella classe di equivalenza può essere divisore dello zero.
Per vedere se lo è dovresti calcolare l'M.C.D. di $f$ e $x^2+1$, ma è un pò difficile visto il grado di $f$.
Puoi però ragionare così: $101 = 1 mod 4$ quindi esiste $h in Z_101$ t.c. $h^2 = -1 mod 101 rightarrow x^2+1 = (x+h)(x-h)$ quindi l'M.C.D. fra $f$ e $x^2+1$ deve essere uno fra questi due. Sai andare avanti? :D


ok, mi arrendo, non capisco come procedere

non mi spiego nemmeno perchè $x^2+1 = (x+h)(x-h)$ non dovrebbe essere irriducibile? io ricordavo così

Edex1
Se $p = 1 mod 4$ allora esiste un elemento del campo $ZZ_p$ tale che $h^2 = -1 mod p$ quindi:
$x^2 + 1 = x^2 - (-1) = (x-h)(x+h)$
A questo punto quindi hai una decomposizione in irriducibili in $x^2+1$.
La classe di $x^2 + 1$ è un divisore dello zero nel quoziente considerato se e solo se l'M.C.D. fra $x^202 + 76$ e $x^2+1$ è un fattore non invertibile.
Poichè in questo caso conosci la decomposizione di $x^2+1$ allora sai che l'M.C.D. fra i due polinomi deve essere uno dei fattori irriducibili di $x^2+1$. Se però $x^202 + 76$ ha come fattori uno di essi allora o $h$ o $-h$ sono radice di $x^202 + 76$.
Vedi subito però, sapendo che $h^2 = -1 mod 101$ che:
$h^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$
$(-h)^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$
E quindi $x^202 + 76$ non ammette come fattori $x-h$ e $x+h$.
Perciò $M.C.D.(x^202 + 76, x^2 + 1) = 1$ (ricorda che l'M.C.D. è definito a meno di fattori invertibili) e quindi la classe di $x^2+1$ non è divisore dello zero in quel quoziente.
Spero di essere stato abbastanza chiaro :D

duombo
Vediamo se ho capito bene
"Edex":
Se $p = 1 mod 4$


il numero 4 è stato scelto per ottenere che $101 -= 1$ quindi si vede che $101-=1mod4$

"Edex":

allora esiste un elemento del campo $ZZ_p$ tale che $h^2 = -1 mod p$ quindi:
$x^2 + 1 = x^2 - (-1) = (x-h)(x+h)$


qui riesco a scomporre $x^2+1$ in quel modo perchè trasformandolo in $x^2-(-1)$ è come scomporre il quadrato di un binomio

"Edex":

A questo punto quindi hai una decomposizione in irriducibili in $x^2+1$.
La classe di $x^2 + 1$ è un divisore dello zero nel quoziente considerato se e solo se l'M.C.D. fra $x^202 + 76$ e $x^2+1$ è un fattore non invertibile.
Poichè in questo caso conosci la decomposizione di $x^2+1$ allora sai che l'M.C.D. fra i due polinomi deve essere uno dei fattori irriducibili di $x^2+1$.

questo perchè il MCD tra 2 polinomi si ottiene dalla scomposizione di entrambi e si prendono gli elementi comuni con minore esponente

"Edex":

Se però $x^202 + 76$ ha come fattori uno di essi allora o $h$ o $-h$ sono radice di $x^202 + 76$.
Vedi subito però, sapendo che $h^2 = -1 mod 101$ che:
$h^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$
$(-h)^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$

perchè sostituendo ad $x$ sia $h$ che $-h$ ottengo sempre l'uguaglianza con $(-1)^101 + 76$ ?

"Edex":

E quindi $x^202 + 76$ non ammette come fattori $x-h$ e $x+h$.

perchè altrimenti avrei ottenuto 0 e non 75 giusto?

"Edex":

Perciò $M.C.D.(x^202 + 76, x^2 + 1) = 1$ (ricorda che l'M.C.D. è definito a meno di fattori invertibili) e quindi la classe di $x^2+1$ non è divisore dello zero in quel quoziente.
Spero di essere stato abbastanza chiaro :D


e io spero di non essere troppo capra per aver fatto mille domande stupide :)

Edex1
Si tutto corretto :) Comunque 4 non è stato scelto, nel senso: il fatto che esiste un h con quella proprietà vale per qualsiasi numero primo congruo a 1 modulo 4! E' sempre così. In questo caso ci è tornato utile saperlo :)

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