Polinomio e divisore di zero in un campo
Ciao a tutti, vi sottopongo questo esercizio con la soluzione che ho dato sperando che mi confermiate che è esatta 
L'esercizio è questo:
Sia $f(x) = x^(202) + 76 \in Z_(101)[x]$ e poniamo $A = Z_(101)[x]$/$(f)$.
(1) Dire se A è o meno un campo;
(2) dire se $\alpha = [x^2 + 1]_f$ è o meno un divisore di zero in A.
Per rispondere al punto (1):
A è un campo se e solo se il polinomio $f(x)$ è irriducibile, per vedere se è irriducibile posso usare il criterio di Eisenstein
quindi trovo un primo $p$ che non divide 1 (il coefficiente di $x^202$) ma che divide 76, trovo che 19 divide 76 ma non divide 1 quindi posso dire che il polinomio $f(x)$ è irriducibile
Per il punto (2):
considerando che
È impossibile, se A è un campo, che risulti $a(x)·b(x) = 0$ se $a(x)!=0$, e $b(x)!=0$, quindi in $A[x]$ non
esistono divisori dello 0.
dal momento che $x^2+1$ non ha soluzioni in $Z$ posso dire che non esistono divisori dello zero?
che ne pensate?
L'esercizio è questo:
Sia $f(x) = x^(202) + 76 \in Z_(101)[x]$ e poniamo $A = Z_(101)[x]$/$(f)$.
(1) Dire se A è o meno un campo;
(2) dire se $\alpha = [x^2 + 1]_f$ è o meno un divisore di zero in A.
Per rispondere al punto (1):
A è un campo se e solo se il polinomio $f(x)$ è irriducibile, per vedere se è irriducibile posso usare il criterio di Eisenstein
quindi trovo un primo $p$ che non divide 1 (il coefficiente di $x^202$) ma che divide 76, trovo che 19 divide 76 ma non divide 1 quindi posso dire che il polinomio $f(x)$ è irriducibile
Per il punto (2):
considerando che
È impossibile, se A è un campo, che risulti $a(x)·b(x) = 0$ se $a(x)!=0$, e $b(x)!=0$, quindi in $A[x]$ non
esistono divisori dello 0.
dal momento che $x^2+1$ non ha soluzioni in $Z$ posso dire che non esistono divisori dello zero?
che ne pensate?
Risposte
Ciao
Guarda, spero di non sbagliarmi, ma Eisenstein lo puoi usare solo se il polinomio appartiene a $ZZ[x]$.
Infatti se consideri $U(ZZ_(101)[x])$ (l'insieme degli invertibili di $ZZ_(101)$) noti che ha cardinalità $100$ in quanto $101$ è primo.
Ne segue che $forall x in U(ZZ_(101)) rightarrow x^100 = 1 mod 101$. Quindi quando sostituisci un qualsiasi numeri diverso da zero in $x^202 + 76$ ottieni $x^2 + 76$ che è congruo a $0 mod 101$ se poni $x = 5$. Quindi quel polinomio è riducibile in $ZZ_(101)[x]$.
Spero di non aver scritto cavolate
Guarda, spero di non sbagliarmi, ma Eisenstein lo puoi usare solo se il polinomio appartiene a $ZZ[x]$.
Infatti se consideri $U(ZZ_(101)[x])$ (l'insieme degli invertibili di $ZZ_(101)$) noti che ha cardinalità $100$ in quanto $101$ è primo.
Ne segue che $forall x in U(ZZ_(101)) rightarrow x^100 = 1 mod 101$. Quindi quando sostituisci un qualsiasi numeri diverso da zero in $x^202 + 76$ ottieni $x^2 + 76$ che è congruo a $0 mod 101$ se poni $x = 5$. Quindi quel polinomio è riducibile in $ZZ_(101)[x]$.
Spero di non aver scritto cavolate
Benissimo allora non ci ho capito una mazza del punto (2) 
ma lo guardo tra un po', ora sono preso con un esercizio sui grafi
Del punto (1) che mi dici? ti sembra corretta la soluzione?
ma lo guardo tra un po', ora sono preso con un esercizio sui grafi Del punto (1) che mi dici? ti sembra corretta la soluzione?
Forse mi sono espresso male, è proprio del punto (1) che parlavo: $x^202 + 76$ non è irriducibile, quindi il quoziente non è un campo!
Ne segue che quella classe di equivalenza può essere divisore dello zero.
Per vedere se lo è dovresti calcolare l'M.C.D. di $f$ e $x^2+1$, ma è un pò difficile visto il grado di $f$.
Puoi però ragionare così: $101 = 1 mod 4$ quindi esiste $h in Z_101$ t.c. $h^2 = -1 mod 101 rightarrow x^2+1 = (x+h)(x-h)$ quindi l'M.C.D. fra $f$ e $x^2+1$ deve essere uno fra questi due. Sai andare avanti?
Ne segue che quella classe di equivalenza può essere divisore dello zero.
Per vedere se lo è dovresti calcolare l'M.C.D. di $f$ e $x^2+1$, ma è un pò difficile visto il grado di $f$.
Puoi però ragionare così: $101 = 1 mod 4$ quindi esiste $h in Z_101$ t.c. $h^2 = -1 mod 101 rightarrow x^2+1 = (x+h)(x-h)$ quindi l'M.C.D. fra $f$ e $x^2+1$ deve essere uno fra questi due. Sai andare avanti?
"Edex":
Guarda, spero di non sbagliarmi, ma Eisenstein lo puoi usare solo se il polinomio appartiene a $ZZ[x]$.
Chiaramente dipende da come viene enunciato, ma vale in qualsiasi UFD.
"Serge Lang - Undergraduate Algebra, p.149":1f67u0a6:
Let \(R\) be a factorial ring, and let \(K\) be its quotient field. Let \[f(t) = a_nt^n + \cdots + a_0\] be a polynomial of degree \( n \geq 1 \) with coefficients in \(R\). Let \(p\) be a prime, and assume \[a_n \not\equiv 0 ({\rm mod} \ p), \quad a_i \equiv 0 ({\rm mod} \ p) \ for \ all \ i < n, \quad a_0 \not\equiv 0 ({\rm mod} \ p^2). \] Then \(f\) is irreducible over \(K\).
EDIT mi è stata fatta notare una possibile ambiguità, aggiungo: chiaramente quando si parla di primo si intende elemento primo dell'UFD in questione, non numero primo.
"Edex":
...
Sai andare avanti?
Ecco è la prova che non ho capito nulla!
Provo ad andare avanti e posto il tentativo non appena posso, cmq grazie Edex
"Edex":
Guarda, spero di non sbagliarmi, ma Eisenstein lo puoi usare solo se il polinomio appartiene a $ZZ[x]$.
e questo non è il mio caso visto che il polinomio appartiene ad una restrizione di $ZZ$ giusto?
Quindi parafrasando quello che hai scritto tu dovrei ragionare in questo modo:
Dal momento che il mio polinomio $\in ZZ_(101)[x]$ significa che il polinomio invertibile che mi serve (per dimostrare che A è un campo) deve appartenere a $U(ZZ_(101)[x])$
Detto questo considero che $\forall x \in U(ZZ_(101)[x]) -> x^(100) -= 1 mod 101$ in virtù di questo posso semplificare la mia $f(x)$ che sarà equivalente a $x^2 + 76$
Se $x^2 + 76$ è congruo $0mod101$ e dal momento che la congruenza è soddisfatta per $x=5$ posso dire che $f(x)$ non è irriducibile in $ZZ_(101)[x]$ quindi A non è un campo
tutto giusto?
"Epimenide93":
chiaramente quando si parla di primo si intende elemento primo dell'UFD in questione, non numero primo.
Ciao Epimenide93 cosa intendi con primo nell'UFD?
"Edex":
Forse mi sono espresso male, è proprio del punto (1) che parlavo: $x^202 + 76$ non è irriducibile, quindi il quoziente non è un campo!
Ne segue che quella classe di equivalenza può essere divisore dello zero.
il fatto che la classe di equivalenza possa essere un divisore di zero è conseguenza del fatto che $f(x)$ non è irriducibile?
"duombo":
Detto questo considero che $\forall x \in U(ZZ_(101)[x]) -> x^(100) -= 1 mod 101$ in virtù di questo posso semplificare la mia $f(x)$ che sarà equivalente a $x^2 + 76$
Il fatto che $x^100 = 1 mod 101$ $forall x in ZZ_101$ non ti permette di semplificare quel polinomio.
I due polinomi $x^202 + 76$ e $x^2 + 76$ sono differenti, però quando vai a calcolarli in un qualsiasi valore di $ZZ_101$ essi assumono lo stesso valore perchè $x^100 = 1 mod 101$ (in pratica sono la stessa funzione polinomiale.
Il fatto che assumano gli stessi valori ti permette di dire che il polinomio $x^202 + 76$ è riducibile in quanto $x=5$ è una radice.
il fatto che la classe di equivalenza possa essere un divisore di zero è conseguenza del fatto che f(x) non è irriducibile?
Sì esatto, perchè il quoziente non è un campo e quindi potrebbe avere divisori dello zero. Sei riuscito a capire se quel polinomio è divisore dello zero?
"Edex":
Il fatto che $x^100 = 1 mod 101$ $forall x in ZZ_101$ non ti permette di semplificare quel polinomio.
I due polinomi $x^202 + 76$ e $x^2 + 76$ sono differenti, però quando vai a calcolarli in un qualsiasi valore di $ZZ_101$ essi assumono lo stesso valore perchè $x^100 = 1 mod 101$ (in pratica sono la stessa funzione polinomiale.
Il fatto che assumano gli stessi valori ti permette di dire che il polinomio $x^202 + 76$ è riducibile in quanto $x=5$ è una radice.
mi sono espresso male ma è quello che volevo dire
sul divisore dello zero ci sto lavorando ora
"Edex":
Forse mi sono espresso male, è proprio del punto (1) che parlavo: $x^202 + 76$ non è irriducibile, quindi il quoziente non è un campo!
Ne segue che quella classe di equivalenza può essere divisore dello zero.
Per vedere se lo è dovresti calcolare l'M.C.D. di $f$ e $x^2+1$, ma è un pò difficile visto il grado di $f$.
Puoi però ragionare così: $101 = 1 mod 4$ quindi esiste $h in Z_101$ t.c. $h^2 = -1 mod 101 rightarrow x^2+1 = (x+h)(x-h)$ quindi l'M.C.D. fra $f$ e $x^2+1$ deve essere uno fra questi due. Sai andare avanti?
ok, mi arrendo, non capisco come procedere
non mi spiego nemmeno perchè $x^2+1 = (x+h)(x-h)$ non dovrebbe essere irriducibile? io ricordavo così
Se $p = 1 mod 4$ allora esiste un elemento del campo $ZZ_p$ tale che $h^2 = -1 mod p$ quindi:
$x^2 + 1 = x^2 - (-1) = (x-h)(x+h)$
A questo punto quindi hai una decomposizione in irriducibili in $x^2+1$.
La classe di $x^2 + 1$ è un divisore dello zero nel quoziente considerato se e solo se l'M.C.D. fra $x^202 + 76$ e $x^2+1$ è un fattore non invertibile.
Poichè in questo caso conosci la decomposizione di $x^2+1$ allora sai che l'M.C.D. fra i due polinomi deve essere uno dei fattori irriducibili di $x^2+1$. Se però $x^202 + 76$ ha come fattori uno di essi allora o $h$ o $-h$ sono radice di $x^202 + 76$.
Vedi subito però, sapendo che $h^2 = -1 mod 101$ che:
$h^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$
$(-h)^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$
E quindi $x^202 + 76$ non ammette come fattori $x-h$ e $x+h$.
Perciò $M.C.D.(x^202 + 76, x^2 + 1) = 1$ (ricorda che l'M.C.D. è definito a meno di fattori invertibili) e quindi la classe di $x^2+1$ non è divisore dello zero in quel quoziente.
Spero di essere stato abbastanza chiaro
$x^2 + 1 = x^2 - (-1) = (x-h)(x+h)$
A questo punto quindi hai una decomposizione in irriducibili in $x^2+1$.
La classe di $x^2 + 1$ è un divisore dello zero nel quoziente considerato se e solo se l'M.C.D. fra $x^202 + 76$ e $x^2+1$ è un fattore non invertibile.
Poichè in questo caso conosci la decomposizione di $x^2+1$ allora sai che l'M.C.D. fra i due polinomi deve essere uno dei fattori irriducibili di $x^2+1$. Se però $x^202 + 76$ ha come fattori uno di essi allora o $h$ o $-h$ sono radice di $x^202 + 76$.
Vedi subito però, sapendo che $h^2 = -1 mod 101$ che:
$h^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$
$(-h)^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$
E quindi $x^202 + 76$ non ammette come fattori $x-h$ e $x+h$.
Perciò $M.C.D.(x^202 + 76, x^2 + 1) = 1$ (ricorda che l'M.C.D. è definito a meno di fattori invertibili) e quindi la classe di $x^2+1$ non è divisore dello zero in quel quoziente.
Spero di essere stato abbastanza chiaro
Vediamo se ho capito bene
il numero 4 è stato scelto per ottenere che $101 -= 1$ quindi si vede che $101-=1mod4$
qui riesco a scomporre $x^2+1$ in quel modo perchè trasformandolo in $x^2-(-1)$ è come scomporre il quadrato di un binomio
questo perchè il MCD tra 2 polinomi si ottiene dalla scomposizione di entrambi e si prendono gli elementi comuni con minore esponente
perchè sostituendo ad $x$ sia $h$ che $-h$ ottengo sempre l'uguaglianza con $(-1)^101 + 76$ ?
perchè altrimenti avrei ottenuto 0 e non 75 giusto?
e io spero di non essere troppo capra per aver fatto mille domande stupide
"Edex":
Se $p = 1 mod 4$
il numero 4 è stato scelto per ottenere che $101 -= 1$ quindi si vede che $101-=1mod4$
"Edex":
allora esiste un elemento del campo $ZZ_p$ tale che $h^2 = -1 mod p$ quindi:
$x^2 + 1 = x^2 - (-1) = (x-h)(x+h)$
qui riesco a scomporre $x^2+1$ in quel modo perchè trasformandolo in $x^2-(-1)$ è come scomporre il quadrato di un binomio
"Edex":
A questo punto quindi hai una decomposizione in irriducibili in $x^2+1$.
La classe di $x^2 + 1$ è un divisore dello zero nel quoziente considerato se e solo se l'M.C.D. fra $x^202 + 76$ e $x^2+1$ è un fattore non invertibile.
Poichè in questo caso conosci la decomposizione di $x^2+1$ allora sai che l'M.C.D. fra i due polinomi deve essere uno dei fattori irriducibili di $x^2+1$.
questo perchè il MCD tra 2 polinomi si ottiene dalla scomposizione di entrambi e si prendono gli elementi comuni con minore esponente
"Edex":
Se però $x^202 + 76$ ha come fattori uno di essi allora o $h$ o $-h$ sono radice di $x^202 + 76$.
Vedi subito però, sapendo che $h^2 = -1 mod 101$ che:
$h^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$
$(-h)^202 + 76 = (-1)^101 + 76 = 75$
perchè sostituendo ad $x$ sia $h$ che $-h$ ottengo sempre l'uguaglianza con $(-1)^101 + 76$ ?
"Edex":
E quindi $x^202 + 76$ non ammette come fattori $x-h$ e $x+h$.
perchè altrimenti avrei ottenuto 0 e non 75 giusto?
"Edex":
Perciò $M.C.D.(x^202 + 76, x^2 + 1) = 1$ (ricorda che l'M.C.D. è definito a meno di fattori invertibili) e quindi la classe di $x^2+1$ non è divisore dello zero in quel quoziente.
Spero di essere stato abbastanza chiaro
e io spero di non essere troppo capra per aver fatto mille domande stupide
Si tutto corretto Comunque 4 non è stato scelto, nel senso: il fatto che esiste un h con quella proprietà vale per qualsiasi numero primo congruo a 1 modulo 4! E' sempre così. In questo caso ci è tornato utile saperlo
Comunque 4 non è stato scelto, nel senso: il fatto che esiste un h con quella proprietà vale per qualsiasi numero primo congruo a 1 modulo 4! E' sempre così. In questo caso ci è tornato utile saperlo
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