Polinomio di Artin-Schreier e campi finiti!
Allora ho questi due esercizi snervanti da risolvere:
A] Per ogni $n <= 10$, $n != 5$ esibire un anello con un numero di elementi invertibili pari a $n$ ad eccezione di $n = 5$
Allora per 1,2,3,4,6,7,8,10 esibisco i campi finiti rispettivamente con 2,3,4,5,7,8,9,11 elementi. Però per $n = 9$ non ho un campo finito a disposizione. Stavo pensando di quozientare $Z$ per un certo ideale primo, che è anche massimale, e se non sbaglio la norma dell'elemento dell'ideale (visto che sono tutti principali) è il numero di elementi del campo quoziente, no? Quindi in teoria $(Z)/ (3 - i)$ dovrebbe funzionare poichè $3^2 + (-i)^2 = 9 + 1 = 10$ ed essendo un campo ha 9 elementi invertibili.
B] Dimostra che non esiste un anello con un numero di elementi invertibili pari a 5.
Qui boh, non lo so proprio. Appunto chiedo aiuto >.<
C]
Sia il polinomio di "Artin-Schreier" $f = x^p - x - a$ in $K[x]$.
Sia $p$ la caratteristica del campo $K$. (secondo me è sbagliato l'esercizio, dovrebbe essere un campo finito proprio non solo di caratteristica p, vedere il punto 1)
Sia $a in K$.
Dimostrare:
1] Sia $t in Z_p$. Allora $f(x) = f(x + t)$.
(è semplice da dimostrare vista la caratteristica p e il fatto che l'elemento è nel sottocampo primo)
2]Sia $r in Z_p$ e $b in [K]$ dove per $[K]$ intendo la chiusura algebrica di $K$. Allora se $b$ è uno zero di $f$, anche $b + r$ è uno zero di $f$
(sfrutto l'uguaglianza del punto 1)
3] Se $f$ ha uno zero in $K$ allora $f$ è prodotto di fattori lineari in $K[X]$
4] Se $f$ non ha zeri in $K$, allora $f$ è irriducibile e il suo campo di spezzamento ha grado $p$ su $K$
(suggerimento dell'esercizio: per un fattore irriducibile $g$ di $f$ considerare il gruppo additivo $H = {c in Z_p : g(x + c) = g(x)}$)
il 3 e il 4 non so proprio cosa fare, suggerimenti? (a parte quello del 4 che non so proprio come sfruttare XD)
C'è un altro esercizio che non so ancora come fare, semmai lo posterò più avanti...
edit: ho modificato, l'errore dell'esercizio era che l'elemento è nel sottocampo primo (nel punto 1), non che fosse un campo finito. Dunque l'ipotesi è che è comunque un campo di caratteristica p ma non si sa se sia finito o meno!
A] Per ogni $n <= 10$, $n != 5$ esibire un anello con un numero di elementi invertibili pari a $n$ ad eccezione di $n = 5$
Allora per 1,2,3,4,6,7,8,10 esibisco i campi finiti rispettivamente con 2,3,4,5,7,8,9,11 elementi. Però per $n = 9$ non ho un campo finito a disposizione. Stavo pensando di quozientare $Z$ per un certo ideale primo, che è anche massimale, e se non sbaglio la norma dell'elemento dell'ideale (visto che sono tutti principali) è il numero di elementi del campo quoziente, no? Quindi in teoria $(Z)/ (3 - i)$ dovrebbe funzionare poichè $3^2 + (-i)^2 = 9 + 1 = 10$ ed essendo un campo ha 9 elementi invertibili.
B] Dimostra che non esiste un anello con un numero di elementi invertibili pari a 5.
Qui boh, non lo so proprio. Appunto chiedo aiuto >.<
C]
Sia il polinomio di "Artin-Schreier" $f = x^p - x - a$ in $K[x]$.
Sia $p$ la caratteristica del campo $K$. (secondo me è sbagliato l'esercizio, dovrebbe essere un campo finito proprio non solo di caratteristica p, vedere il punto 1)
Sia $a in K$.
Dimostrare:
1] Sia $t in Z_p$. Allora $f(x) = f(x + t)$.
(è semplice da dimostrare vista la caratteristica p e il fatto che l'elemento è nel sottocampo primo)
2]Sia $r in Z_p$ e $b in [K]$ dove per $[K]$ intendo la chiusura algebrica di $K$. Allora se $b$ è uno zero di $f$, anche $b + r$ è uno zero di $f$
(sfrutto l'uguaglianza del punto 1)
3] Se $f$ ha uno zero in $K$ allora $f$ è prodotto di fattori lineari in $K[X]$
4] Se $f$ non ha zeri in $K$, allora $f$ è irriducibile e il suo campo di spezzamento ha grado $p$ su $K$
(suggerimento dell'esercizio: per un fattore irriducibile $g$ di $f$ considerare il gruppo additivo $H = {c in Z_p : g(x + c) = g(x)}$)
il 3 e il 4 non so proprio cosa fare, suggerimenti? (a parte quello del 4 che non so proprio come sfruttare XD)
C'è un altro esercizio che non so ancora come fare, semmai lo posterò più avanti...
edit: ho modificato, l'errore dell'esercizio era che l'elemento è nel sottocampo primo (nel punto 1), non che fosse un campo finito. Dunque l'ipotesi è che è comunque un campo di caratteristica p ma non si sa se sia finito o meno!
Risposte
Up... niente eh? ç_ç
Per il 3) del secondo: usa 1) e 2)! Sei in caratteristica p, quindi se hai uno zero, ne hai almeno altri p-1...
Gli altri punti non li ho guardati...
Però osservo che [tex](1 - i)(2 + i) = 2 + i - 2i + 1 = 3 - i[/tex], quindi [tex](3-i)[/tex] non è un ideale primo, quindi tanto meno massimale e perciò il tuo quoziente non è un campo (e comunque, dovresti saperlo che i campi finiti hanno necessariamente cardinalità pari alla potenza di un primo...)
Gli altri punti non li ho guardati...
Però osservo che [tex](1 - i)(2 + i) = 2 + i - 2i + 1 = 3 - i[/tex], quindi [tex](3-i)[/tex] non è un ideale primo, quindi tanto meno massimale e perciò il tuo quoziente non è un campo (e comunque, dovresti saperlo che i campi finiti hanno necessariamente cardinalità pari alla potenza di un primo...)
Cavolo hai ragione è riducibile... >.< Vabbè cerco di vedere se $(3 + i)$ va bene, o tento altro... ora provo l'esercizio 3
edit: niente da fare... ho provato quelli di norma 10 e a meno di errori sono tutti riducibili per uno di norma 2 e uno di norma 5... inoltre per fare norma 10 posso solo usare i quadrati di 1 e di 3 (ovvero 1 e 9), poichè le altre combinazioni (2,8),(3,7),(4,6),(5,5) non sono quadrati... mi piange il cuore
edit: niente da fare... ho provato quelli di norma 10 e a meno di errori sono tutti riducibili per uno di norma 2 e uno di norma 5... inoltre per fare norma 10 posso solo usare i quadrati di 1 e di 3 (ovvero 1 e 9), poichè le altre combinazioni (2,8),(3,7),(4,6),(5,5) non sono quadrati... mi piange il cuore
Beh, sì, si sapeva anche senza fare i conti. Infatti la norma di un ideale primo è la potenza di un ideale primo (e l'esponente è l'indice di inerzia del primo in questione). E comunque, ti ho già fatto notare che di campi con [tex]10[/tex] elementi non ne possono proprio esistere.
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