Polinomio come somma di quadrati

[cicciapallina]

Ciao a tutti!
Come faccio a dimostrare che un polinomio $p(x) ∈ R[x] $ monico di grado $n ≥ 2$ e strettamente maggiore di $0 $ per ogni $x ∈ R$ è somma di quadrati in $R[x]$?

[Pappappero1]

E' un teorema di Hilbert. La dimostrazione originaria e' difficile e non sono mai riuscito a capirla. Ma con il nostro linguaggio e' un bell'esercizio.

Prova a cominciare pensando a che considerazioni puoi fare sul grado del polinomio e su come sono distribuite le sue radici?

[cicciapallina]

Essendo un polinomio mai negativo le radici sono tutte complesse, giusto?

[Pappappero1]

Non esattamente. Ad esempio $f = x^2$ non e' mai negativo eppure ha due radici reali coincidenti. Piu' precisamente, cosa si puo' dire della molteplicita' delle radici reali di $f$? E sulle radici non-reali?

E sul grado?

[cicciapallina]

Ma non è strettamente positiva.
Il grado deve essere pari?

[Pappappero1]

Ah..mi ero perso lo strettamente. Allora e' ancora piu' facile. Tutte le radici sono complesse. Il grado deve essere pari, altrimenti esiste almeno una radice reale. Proviamo a fattorizzare il polinomio nelle sue radici complesse; scegliamo meta' delle radici e separiamole dalle loro coniugate, scrivendo $f = gh$ dove tutte le radici di $g$ sono coniugate a tutte le radici di $h$.

Dopo aver fatto questo noterai che $g$ e $h$ hanno una struttura particolare e il loro prodotto sara' proprio una somma di quadrati.

[cicciapallina]

E se invece non è strettamente positiva?

[Pappappero1]

Se assume valori negativi certamente $f$ non puo' essere scritto come somma di quadrati (reali).

Se invece $f \geq 0$ sostanzialmente la stessa dimostrazione funziona. Basta osservare che ogni radice reale deve essere doppia (piu' precisamente, deve avere molteplicita' pari), altrimenti $f$ avrebbe valori negativi: a quel punto il prodotto delle radici reali e' un quadrato e lo si moltiplica per i quadrati che vengono dalle radici complesse.