Polinomio?

[leev]

Sia $f$ una funzione $C^infty(RR,RR)$;
sapendo che la derivata ennessima di $f$, $f^((n))$ , è nulla su un aperto non vuoto di $RR$, cosa potrebbe aiutarmi a concludere che $f$ è un polinomio? ($n$ è fissato)
(con 'cosa potrebbe aiutarmi' intendo 'quali ulteriori ipotesi avrei bisogno')

grazie

[rubik2]

credo che se $f$ è analitica puoi affermarlo con certezza. non so se ci sono altri modi.

[Fioravante Patrone1]

"leev":Sia $f$ una funzione $C^infty(RR,RR)$;
sapendo che la derivata ennessima di $f$, $f^((n))$ , è nulla su un aperto non vuoto di $RR$, cosa potrebbe aiutarmi a concludere che $f$ è un polinomio? ($n$ è fissato)
(con 'cosa potrebbe aiutarmi' intendo 'quali ulteriori ipotesi avrei bisogno')

grazie

Se vuoi poter affermare che $f$ è un polinomio su quell'aperto, la risposta è quasi sì.
Per la precisione, è un polinomio su ogni componente connessa dell'aperto..

Se invece vuoi dedurre che è un polinomio su $RR$ la risposta à no.
Basta prendere $f$ che vale $0$ per $x \le 0$ ed $e^{- \frac{1}{x^2}}$ per $x > 0$.
E' una funzione infinitamente derivabile su tutto $RR$ (vedi la tecnica standard dei "mollificatori", utile per la teoria delle distribuzioni).

Se sapessi che è analitica, vedi rubik

[leev]

Okay,
allora passo al problema che ha dato origine alla mia precedente domanda:

vorrei dimostrare che:
se per tutti gli $x in RR$ esiste $n in NN$ tale che $f^((n))(x)=0$, allora $f$ è un polinomio.

e per fare ciò l'idea è utilizzare il lemma (o teorema, che dir si voglia) di Baire.

Sapreste come fare?

[Fioravante Patrone1]

ma che diavolo!
questa e' tutta un'altra cosa!

[rubik2]

nutro qualche dubbio ma questa è la mia idea:(per $bbI(A)$ intendo la parte interna di A non sapevo come farlo)

sia $V_n={x inRRquad|quadf^((n))(x)=0}$ ogni $V_n$ è chiuso in $RR$ e $uuu_(ninNN)V_n=RR$ questo implica che esiste $kinNN$ tale che $bbI(V_k)!=O/$. osservo che $bbI(V_k)subV_(k+1)$.

inoltre $f^((n-1))(x)=c quad AAx inbbI(V_n)->f^((n-1))(x)=0quad x in bbI(V_n)-> bbI(V_n)=bbI(V_(n-1))$

sia $barn$ il minimo indice $n$ tale che $bbI(V_n)!=O/$

$A=uuu_(n $B=uuu_(n>=barn)V_n$ è unione di chiusi tutti con la stessa parte interna

ora $AuuB=RR$ quindi $Bsup(RR\\A)$ e $B$ è denso in $RR$(qui forti dubbi).f ha derivate di ordine superione a $barn$ tutte nulle in un denso di $RR$ e quindi è un polinomio.

funziona? sinceramente non so. qualcuno mi dica qualcosa!

[leev]

Mi sembra che ci sia molto qui

per quanto riguarda il $B$ denso in $RR$ penso sia ok, visto che se $A$ è di prima categoria, $RR\\A$ è denso in $RR$ e $RR\\A sube B$.
Però la conclusione che f è un polinomio come l'hai potuta trarre?

anche la riga che inizia per 'inoltre' non l'ho capita bene, me la spiegheresti?

grazie

[gugo82]

"rubik":nutro qualche dubbio ma questa è la mia idea:(per $bbI(A)$ intendo la parte interna di A non sapevo come farlo)

sia $V_n={x inRRquad|quadf^((n))(x)=0}$ ogni $V_n$ è chiuso in $RR$ e $uuu_(ninNN)V_n=RR$ [n.d. Gugo: applico il Lemma di Baire] questo implica che esiste $kinNN$ tale che $bbI(V_k)!=O/$. osservo che $bbI(V_k)subV_(k+1)$.

inoltre $f^((n-1))(x)=c quad AAx inbbI(V_n)->f^((n-1))(x)=0quad x in bbI(V_n)-> bbI(V_n)=bbI(V_(n-1))$

sia $barn$ il minimo indice $n$ tale che $bbI(V_n)!=O/$ [...]

$B=uuu_(n>=barn)V_n$ è unione di chiusi tutti con la stessa parte interna

[...]$B$ è denso in $RR$ [...] $f$ ha derivate di ordine superione a $barn$ tutte nulle in un denso di $RR$ e quindi è un polinomio [...]

La riga con "inoltre" non la capisco: dalla riga precedente si può trarre che la successione delle parti interne $bbI(v_n)$ è definitivamente crescente rispetto a $subseteq$, ma come sei arrivato alla relazione di decrescenza? Certamente vale l'implicazione $AAx in bbI(V_n),quad f^((n))(x)=0 -> AAx in bbI(V_n), quad f^((n-1))(x)=cost$ ma poi non riesco a vedere come determini che la costante sia in realtà $0$.

Ho qualche dubbio sull'affermazione che in $B$ siano nulle tutte le derivate di $f$ poichè nella definizione di $B$, cioè $B={x in RR: ( exists n ge barn: f^((n))(x)=0)}$, l'ordine di derivazione non appare quantificato universalmente (ho come l'impressione che questa difficoltà sia legata a non aver compreso la riga con "inoltre").

[gugo82]

"leev":[...] per quanto riguarda il $B$ denso in $RR$ penso sia ok, visto che se $A$ è di prima categoria, $RR\\A$ è denso in $RR$ e $RR\\A sube B$.
Però la conclusione che f è un polinomio come l'hai potuta trarre?

La conclusione che $f$ sia un polinomio discende dall'affermazione che le derivate di $f$ sono tutte nulle in $B$ e, per continuità, in tutto $RR$ a partire da quella d'ordine $barn$: infatti basta notare che in questo caso $f$ risolve il problema di Cauchy $y^(barn)=0$ in $RR$ e che le soluzioni di questo problema sono tutti e soli i polinomi di grado $

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[rubik2]

"leev":Mi sembra che ci sia molto qui

per quanto riguarda il $B$ denso in $RR$ penso sia ok, visto che se $A$ è di prima categoria, $RR\\A$ è denso in $RR$ e $RR\\A sube B$.
Però la conclusione che f è un polinomio come l'hai potuta trarre?

anche la riga che inizia per 'inoltre' non l'ho capita bene, me la spiegheresti?

grazie

l'idea era che se $AsubB$ e ho una funzione costante su B che vale zero su A varrà zero su tutto B (perchè è continua). credo comunque (la notte porta consiglio!) che non vada bene perchè $V_n$ potrebbe contenere aperti disgiunti da $V_(n-1)$ e il mio ragionamento non funzionerebbe in questo caso insomma andrebbe bene se $A$ e $B$ non sono troppo "brutti" ma io non conosco nulla di loro.

[zorn1]

Occorre che l'aperto sia connesso, altrimenti $f^((n-1))$ in generale è costante a tratti, quindi per $n=1$ non è una funzione polinomiale (che non è lo stesso che polinomio, per inciso).

Se l'aperto è pure connesso invece la tesi vale.
Per induzione su $n$:
per $n=1$ se $f'=0$ su $A$ aperto connesso allora si dimostra che $f$ è costante su A, quindi è una funzione polinomiale.

Sia vera la tesi fino a $n-1$. Se $f^((n))=0$ in A allora $f^((n-1))=c$ costante. Se $c=0$ la prova è concluda per l'ipotesi di induzione; altrimenti considero la funzione $g=f-(c*x^(n-1))/((n-1)!)$, per tale funzione si ha $g^((n-1))=0$ in A, per ipotesi induttiva $g$ è una funzione polinomiale in A, pertanto lo è anche $f=g+(c*x^(n-1))/((n-1)!)$ la tesi è provata.

[leev]

Vedo diversa carne al fuoco
(anche se un po'bruciacchiata...)

Comunque, secondo ciò che ha scritto zorn, dimostrando che $I(V_k)$ è connesso (per il $k$ tale che l'insieme non è vuoto), l'affermazione sarebbe ok...?!

[leev]

UP UP UP
(Il problema mi resta)