Polinomi simmetrici
Un polinomio simmetrico è un polinomio in più variabili se risulta invariante rispetto alla permutazione dell'ordine delle variabili:
$P(x_1,x_2,x_3, ... , x_n)=P(x_(sigma(1)) , x_(sigma(2)), ... , x_(sigma(n)) )$
Sarebbe corretto fare un esempio di questo tipo?
$2x+3y+4z=0$ non può essere un polinomio simmetrico in quanto ho i seguenti casi:
$2x+3y+4z=0$
$2x+3z+4y=0$
$2y+3x+4z=0$
$2y+3z+4x=0$
$2z+3x+4y=0$
$2z+3y+4x=0$
dove sembra che tutti i polinomi siano diversi. Giusto? Sbagliato? Non ho capito nulla??
$P(x_1,x_2,x_3, ... , x_n)=P(x_(sigma(1)) , x_(sigma(2)), ... , x_(sigma(n)) )$
Sarebbe corretto fare un esempio di questo tipo?
$2x+3y+4z=0$ non può essere un polinomio simmetrico in quanto ho i seguenti casi:
$2x+3y+4z=0$
$2x+3z+4y=0$
$2y+3x+4z=0$
$2y+3z+4x=0$
$2z+3x+4y=0$
$2z+3y+4x=0$
dove sembra che tutti i polinomi siano diversi. Giusto? Sbagliato? Non ho capito nulla??
Risposte
"GundamRX91":
$2x+3y+4z=0$ non può essere un polinomio simmetrico in quanto ho i seguenti casi:
$2x+3y+4z=0$
$2x+3z+4y=0$
Fine. Non è simmetrico, poiché in generale $2x+3y+4z != 2x+3z+4y$
[ PS. $P(x)=0$ è un'equazione, $P(x)$ è un polinomio.
]
Ok, grazie per la conferma e la correzione
Rimanendo nell'ambito dei polinomi simmetrici vorrei qualche chiarimento.
Allora, una funzione simmetrica elementare è una funzione $f(sigma_1, sigma_2, ..., sigma_n)$ nelle variabili $sigma_1, sigma_2, ..., sigma_n$, se qualunque sia la permutazione $i_1,i_2, ... , i_n$ degli indici $1,2,3...,n$, si ha:
$f(sigma_1, sigma_2, ..., sigma_n)=f(sigma_(i_1), sigma_(i_2), ..., sigma_(i_n))$
Sia $f(x_1,x_2, ... ,x_n)$ un polinomio simmetrico nelle variabili $x_1,x_2, ... , x_n$. Esiste allora un polinomio $g(y_1,y_2, ... ,y_n)$ in $n$ variabili tali che $f(x_1,x_2, ... ,x_n)=g(phi_1,phi_2, ... ,phi_n)$, dove
$phi_1=x_1*x_2* ... *x_n$
$phi_2=x_1*x_2+x_1*x_3+x_1*x_4+...$
$...$
$phi_n=x_1+x_2+x_3+ ... +x_n$
che sono i polinomi simmetrici nelle variabili $x_1,x_2, ... , x_n$.
In quale ambito si usano i polinomi simmetrici? Non riesco a capirlo... ergo non riesco a farmi un esempio
Allora, una funzione simmetrica elementare è una funzione $f(sigma_1, sigma_2, ..., sigma_n)$ nelle variabili $sigma_1, sigma_2, ..., sigma_n$, se qualunque sia la permutazione $i_1,i_2, ... , i_n$ degli indici $1,2,3...,n$, si ha:
$f(sigma_1, sigma_2, ..., sigma_n)=f(sigma_(i_1), sigma_(i_2), ..., sigma_(i_n))$
Sia $f(x_1,x_2, ... ,x_n)$ un polinomio simmetrico nelle variabili $x_1,x_2, ... , x_n$. Esiste allora un polinomio $g(y_1,y_2, ... ,y_n)$ in $n$ variabili tali che $f(x_1,x_2, ... ,x_n)=g(phi_1,phi_2, ... ,phi_n)$, dove
$phi_1=x_1*x_2* ... *x_n$
$phi_2=x_1*x_2+x_1*x_3+x_1*x_4+...$
$...$
$phi_n=x_1+x_2+x_3+ ... +x_n$
che sono i polinomi simmetrici nelle variabili $x_1,x_2, ... , x_n$.
In quale ambito si usano i polinomi simmetrici? Non riesco a capirlo... ergo non riesco a farmi un esempio
Si usano per esempio per dimostrare che dato un gruppo finito [tex]G[/tex] esiste sempre un'estensione di campi con gruppo di Galois [tex]G[/tex] (nota che questo è ben diverso dal problema inverso di Galois: cf. qui).
Prima ci si riconduce al caso [tex]G=S_n[/tex] (usando il teorema di Cayley per immergerlo in [tex]S_n[/tex] e poi prendendo l'intercampo fissato), e poi si dimostra che (uso le tue notazioni) l'estensione di campi [tex]K(X_1,...,X_n)/K(\phi_1,...,\phi_n)[/tex] ha gruppo di Galois [tex]S_n[/tex].
Prima ci si riconduce al caso [tex]G=S_n[/tex] (usando il teorema di Cayley per immergerlo in [tex]S_n[/tex] e poi prendendo l'intercampo fissato), e poi si dimostra che (uso le tue notazioni) l'estensione di campi [tex]K(X_1,...,X_n)/K(\phi_1,...,\phi_n)[/tex] ha gruppo di Galois [tex]S_n[/tex].
Grazie Martino 
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