Polinomi riducibili
Salve
sto lavorando con i campi di Galois, quindi ho bisogno di identificare polinomi non riducibili.
Se il grado è dispari mi limito a verificare che i valori di Zn non soddisfano il polinomio.
Per quelli di grado pari però non basta.
Cosa dovrei fare?
Come faccio ad identificare un polinomio non riducibile ad esempio in GF(16)?
sto lavorando con i campi di Galois, quindi ho bisogno di identificare polinomi non riducibili.
Se il grado è dispari mi limito a verificare che i valori di Zn non soddisfano il polinomio.
Per quelli di grado pari però non basta.
Cosa dovrei fare?
Come faccio ad identificare un polinomio non riducibile ad esempio in GF(16)?
Risposte
Un aiuto...please..
"mosca9":Non basta neanche per il grado dispari. Per esempio il polinomio [tex]x^5+x^3+1[/tex] su [tex]GF(2)[/tex] non ha zeri eppure e' riducibile essendo uguale a [tex](x^2+x+1)(x^3+x+1)[/tex].
Per quelli di grado pari però non basta.
Cosa ti serve esattamente? Un criterio per capire se un polinomio e' irriducibile su [tex]GF(q)[/tex]? Per gradi piccoli (fino a 5) lo puoi fare direttamente scrivendo le possibili decomposizioni con coefficienti generici (penso che tu sappia cosa intendo). Poi ci sono risultati particolari, per esempio se sei in caratteristica p e il tuo polinomio e' del tipo [tex]x^p-x-a[/tex] allora e' riducibile se e solo se ammette zeri. Ma non credo che esistano criteri generali. Se stai affrontando un problema particolare puoi provare a proporlo.
Devo trovare un polinomio irriducibile in GF(16), verificando che è irriducibile.
Vorrei un metodo per trovare se è riducibile o meno.
Ad esempio il primo polinomio che hai postato te di grado 5, lo avrei preso per irriducibile.
Vorrei un metodo per trovare se è riducibile o meno.
Ad esempio il primo polinomio che hai postato te di grado 5, lo avrei preso per irriducibile.
Allora ti ho già risposto 
Non penso di essermi risposto, non so se sei volutamente criptico.
Se io scelgo un polinomio in Z3 di grado 3, per capire se è riducibile o meno devo scrivermi tutti i possibili polinomi di grado 1 e 2 e combinarli tra loro per vedere se danno il polinomio scelto, ci vuole una vita.
Io chiedevo solo se esisteva un criterio (che sul mio libro non c'è) per creare un polinomio irriducibile in un qualche Zn. Tutto qua. Non sto facendo esercizi molto complessi sui campi di Galois ma ho problemi a trovare da me un polinomio irriducibile.
Se io scelgo un polinomio in Z3 di grado 3, per capire se è riducibile o meno devo scrivermi tutti i possibili polinomi di grado 1 e 2 e combinarli tra loro per vedere se danno il polinomio scelto, ci vuole una vita.
Io chiedevo solo se esisteva un criterio (che sul mio libro non c'è) per creare un polinomio irriducibile in un qualche Zn. Tutto qua. Non sto facendo esercizi molto complessi sui campi di Galois ma ho problemi a trovare da me un polinomio irriducibile.
"mosca9":No, e' facile. Se il tuo polinomio di grado 3 e' scomponibile allora ammette almeno un fattore di grado 1, quindi uno zero. Quindi un polinomio di grado 3 e' riducibile se e solo se ammette uno zero, e devi fare tante verifiche quanti sono gli elementi del tuo campo (cioe' poche). Se il polinomio ha grado 5 per esempio e non ha zeri allora un'eventuale decomposizione e' del tipo [tex]P(x)Q(x)[/tex] con [tex]P(x)[/tex] di grado 3 e [tex]Q(x)[/tex] di grado 2. Quindi scrivi il prodotto generico [tex](ax^3+bx^2+cx+d)(ex^2+fx+g)[/tex] e lo poni uguale al tuo polinomio, svolgi il prodotto e uguagli i coefficienti. Ti sto parlando di un procedimento ultra-standard! Prova a cercare in giro su internet.
Se io scelgo un polinomio in Z3 di grado 3, per capire se è riducibile o meno devo scrivermi tutti i possibili polinomi di grado 1 e 2 e combinarli tra loro per vedere se danno il polinomio scelto, ci vuole una vita.
Ciao.
Quindi scrivi il prodotto generico e lo poni uguale al tuo polinomio, svolgi il prodotto e uguagli i coefficienti.
Quindi dovrei fare un sistema per vedere se sono uguali e se non trovo valori dei coefficienti in Z5 per cui sono uguali è irriducibile.
Però vengono dei sistemi non lineari, come faccio a risolverli in caso o capire che non ammetono soluzioni?
Comunque non riesco a trovare molto su questo argomento. Grazie per l'aiuto.
Non devi per forza risolverli a mano, puoi usare mathematica, probabilmente anche matlab.
Lo so. Ma all'esame che dovrò fare non li potrò usare.
Allora non preoccuparti troppo, nel senso che se il compito e' pensato per farli a mano non saranno troppo difficili.
Ilconsiglio che posso darti magari e'giusto quello di farti piu furbo che puoi nei calcoli.. alla fine per dire i polinomi saranno quasi sempre monici o riconducibili a polinomi monici, quindi i coeffciienti di grado maggiore nella scomposizione li puoi prendere uguali a 1. Poi le possibilitá'sono finite, quindi si tratta di risolvere un numero finito di casi. In genere partire dal termine noto e'una buona cosa.. hai solo il prodotto di due termini e puoi ridurti a pochi casi.
Ilconsiglio che posso darti magari e'giusto quello di farti piu furbo che puoi nei calcoli.. alla fine per dire i polinomi saranno quasi sempre monici o riconducibili a polinomi monici, quindi i coeffciienti di grado maggiore nella scomposizione li puoi prendere uguali a 1. Poi le possibilitá'sono finite, quindi si tratta di risolvere un numero finito di casi. In genere partire dal termine noto e'una buona cosa.. hai solo il prodotto di due termini e puoi ridurti a pochi casi.
Nei compiti passati non si è mandati oltre Z3 e polinomi di grado 4. Spero non escano sorprese
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