Polinomi: irriducibilità e campo di spezzamento.
Buongiorno a tutti,
premetto che questo è il mio primo messaggio e nella speranza di non aver già infranto troppe regole desideravo ricevere alcuni chiarimenti sulla teoria (ed eventualmente anche su alcuni esercizi) riguardante i criteri di irriducibilità e il campo di spezzamento. Ho già cercato sul forum, leggendo anche gli utilissimi post di Martino ma qualche dubbio è ancora rimasto .
Domanda n°1 (molto scema):
Io so che se $\alpha in F$ è algebrico su $K$ vale:
$ K[\alpha]~=(K[x])/((u_\alpha(x))) $
(qui intendo il gruppo quoziente di $K[x]$ sui multipli del pol. minimo $((u_\alpha(x))$ che per definizione è un ideale)
$rArr$ $K[\alpha]$ è un campo per quanto detto sopra e perché $u_\alpha(x)$ è irriducibile.
Ora, sia $\alpha in F$, poniamo
$ K(\alpha)= {f(x)/g(x)|\text{ } f,g in K[x],g(x)!=0} $
perché $K[\alpha]=K(\alpha)$ se $\alpha$ è algebrico?
Domanda n°2:
Il criterio della derivata dice:
$K$ campo, $KsubC$ oppure $K=(ZZ)/(pZZ)$ (anche qui intendo il quoziente, non trovo il simbolo adatto, scusate)
$f in K[x]$, $f$ ha fattori multipli $hArr (f,f')!=1$
Esempio su $(ZZ)/(pZZ) \text{ } f(x)=x^p \text{ } f'(x)=0$
da cui un'utile osservazione $g(x)$ è irriducibile in $(ZZ)/(pZZ)[x] rArr g'(x)$ non è $-=0$
da cui deduciamo che i fattori irriducibili in $(ZZ)/(2ZZ)$ hanno un numero dispari di monomi...
BELLO! Ma perché?
Altre domande idiote e esercizi banali a breve!
premetto che questo è il mio primo messaggio e nella speranza di non aver già infranto troppe regole desideravo ricevere alcuni chiarimenti sulla teoria (ed eventualmente anche su alcuni esercizi) riguardante i criteri di irriducibilità e il campo di spezzamento. Ho già cercato sul forum, leggendo anche gli utilissimi post di Martino ma qualche dubbio è ancora rimasto .
Domanda n°1 (molto scema):
Io so che se $\alpha in F$ è algebrico su $K$ vale:
$ K[\alpha]~=(K[x])/((u_\alpha(x))) $
(qui intendo il gruppo quoziente di $K[x]$ sui multipli del pol. minimo $((u_\alpha(x))$ che per definizione è un ideale)
$rArr$ $K[\alpha]$ è un campo per quanto detto sopra e perché $u_\alpha(x)$ è irriducibile.
Ora, sia $\alpha in F$, poniamo
$ K(\alpha)= {f(x)/g(x)|\text{ } f,g in K[x],g(x)!=0} $
perché $K[\alpha]=K(\alpha)$ se $\alpha$ è algebrico?
Domanda n°2:
Il criterio della derivata dice:
$K$ campo, $KsubC$ oppure $K=(ZZ)/(pZZ)$ (anche qui intendo il quoziente, non trovo il simbolo adatto, scusate)
$f in K[x]$, $f$ ha fattori multipli $hArr (f,f')!=1$
Esempio su $(ZZ)/(pZZ) \text{ } f(x)=x^p \text{ } f'(x)=0$
da cui un'utile osservazione $g(x)$ è irriducibile in $(ZZ)/(pZZ)[x] rArr g'(x)$ non è $-=0$
da cui deduciamo che i fattori irriducibili in $(ZZ)/(2ZZ)$ hanno un numero dispari di monomi...
BELLO! Ma perché?
Altre domande idiote e esercizi banali a breve!
Risposte
Domanda 2 risolta, ovviamente numero pari di monomi implica $-=0 mod 2$ quindi sono del tipo:
$x, x+1, x^2 + x + 1 , x^3 + x + 1$ ecc. ecc. giusto?
$x, x+1, x^2 + x + 1 , x^3 + x + 1$ ecc. ecc. giusto?
Esercizio n°1
Sia $f(x)=x^4-4x^2+2$ determinare il grado del campo di spezzamento su $QQ$ , $QQ(i)$ , $F_7$.
Io ho ragionato così: $f(x)$ è irriducibile per Eisenstein per $p=2$ $rArr$ $f$ irriducibile in $QQ[x]$
$f(x)$ è monico $rArr$ $f(x)$ è il polinomio minimo su $QQ$
Su $QQ$ ha grado $4$ perché il pol. min. ha grado $4$.
Su $QQ(i)$ ha comunque grado $4$ perché le radici sono tutte reali.
Su $F_7$ è equivalente a risolvere $x^4-4x^2+2-=0$ $mod$ $7$ ?
Se si, io ho proceduto così: ho provato che non ci sono radici (per verifica diretta) e che quindi non può essere scomposto in fattori lineari quindi, siccome è di 4° grado, se si scompone deve essere del tipo $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$
Il grado è $2$ perché effettivamente si scompone...
$(x^2-5)(x^2+1)$
ma è giusto procedere così? esistono metodi più "furbi"?
Sia $f(x)=x^4-4x^2+2$ determinare il grado del campo di spezzamento su $QQ$ , $QQ(i)$ , $F_7$.
Io ho ragionato così: $f(x)$ è irriducibile per Eisenstein per $p=2$ $rArr$ $f$ irriducibile in $QQ[x]$
$f(x)$ è monico $rArr$ $f(x)$ è il polinomio minimo su $QQ$
Su $QQ$ ha grado $4$ perché il pol. min. ha grado $4$.
Su $QQ(i)$ ha comunque grado $4$ perché le radici sono tutte reali.
Su $F_7$ è equivalente a risolvere $x^4-4x^2+2-=0$ $mod$ $7$ ?
Se si, io ho proceduto così: ho provato che non ci sono radici (per verifica diretta) e che quindi non può essere scomposto in fattori lineari quindi, siccome è di 4° grado, se si scompone deve essere del tipo $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$
Il grado è $2$ perché effettivamente si scompone...
$(x^2-5)(x^2+1)$
ma è giusto procedere così? esistono metodi più "furbi"?
Se tutti gli altri metodi falliscono quello della "forza bruta" è l'unico rimanente
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