Polinomi irriducibili in R[X]

[aram1]

Mentre in C[X] i polinomi irriducibili sono tutti e soli quelli di I grado, se restringo il campo,in oR[X] quali sono,oltre a quelli di primo grado? C'è un modo per classificarli? Il criterio di Eisenstein se non sbaglio è solo condizione sufficiente perl'irriducibilità in Z[X],vero?

[Paolo902]

In $\RR[x]$ tutti e soli i polinomi irriducibili sono quelli di primo grado e quelli di secondo grado con discriminante negativo.

[Kashaman]

"aram":Mentre in C[X] i polinomi irriducibili sono tutti e soli quelli di I grado, se restringo il campo,in oR[X] quali sono,oltre a quelli di primo grado? C'è un modo per classificarli? Il criterio di Eisenstein se non sbaglio è solo condizione sufficiente perl'irriducibilità in Z[X],vero?

$C$ è algebricamente chiuso, pertanto vale quello che hai appena detto.
In $R[x]$ , come ha detto paolo , i polinomi di grado $1$ e quelli di grado $2$ con discriminante negativo sono irriducibili. (perché non hanno Radici in $RR$, e quindi per il Th di ruffini , non ammettono fattori irriducibili di grado $1$. (si dimostra che ogni polinomio in $R[x]$ si decompone almeno nel prodotto di polinomi irriducibili di grado 2 e ogni polinomio di grado dispari in $R[x]$ ammette una radice reale).
Sia per $C[x]$ , che per $R[x]$ è facile classificare i polinomi irriducibili, Differente per $Q[x]$ (ove per il Th di gauss,fattorizzare un polinomio in $Q[x]$ equivale a fattorizzarlo in $Z[x]$ ) , perché possiamo trovare polinomi di qualsiasi grado irriducibili!
Il criterio di Eisenstein vale solo per i polinomi in $Q[x]$, è un criterio sufficiente ma non necessario.
Ti ricordo il teorema :
Sia $f(X)=\sum_(i=0)^na_ix^i in Z[x]$ e sia $p$ un primo tale che
a) $p$ non divide $a_n$
b) $p | a_i $ per ogni altro $i$
c) $p^2$ non divide $a_0$
allora $f(X)$ è irriducibile in $Q[x]$

Esempio 1:
$f(X)=x^10+6x+2$ è irriducibile in $Q[x]$ per Eisenstein.
Basta prendere $p=2$.
Esempio 2:
$g(X)=X^4+1$ è irriducibile in $Q{x]$ pur non esistendo alcun $p$ tale che valga Eisenstein.

spero di esser stato esaustivo ciao

[aram1]

Come dimostro che i polinomi di grado dispari sono sempre riducibili in R[X]?

[Paolo902]

Ad esempio, se vuoi una dimostrazione analitica, con il Teorema degli zeri.
Oppure basta dimostrare che se $z \in \mathbb C$ è uno zero del polinomio, allora anche $\overline{z}$ è uno zero (e ciò è piuttosto semplice). Ne segue che gli zeri complessi di un polinomio qualsiasi vanno sempre "a coppie" (coniugate); il Teorema fondamentale dell'Algebra permette ora di concludere.

[Francesco712]

Il dover passare ai numeri complessi per dimostrare la riducibilità in \(R\) di un qualsiasi poliomio di grado \(n>2 \) rappresenta, secondo me, un po' un problema, soprattutto se si vuole motivare questo fatto a degli studenti di scuola superiore che magari i numeri complessi non li studiano proprio.

[Kashaman]

"aram":Come dimostro che i polinomi di grado dispari sono sempre riducibili in R[X]?

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