Polinomi irriducibili in F_p [x]

[NightKnight1]

Sia p un primo e sia F_p = Z/pZ = Z/(p) il campo delle classi resto modulo p, cioè il campo di Galois con p elementi.
Come si può dimostrare che nell'anello dei polinomi a coefficienti in F_p esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado?? (Ovviamente usando la teoria dei campi: polinomio minimo di un elementro algebrico, campo di spezzamento di un polinomio, campi finiti, ...)
Grazie a tutti

[TomSawyer1]

Ti scrivo l'idea generale di una dimostrazione che non fa uso solo della teoria dei campi. In internet trovi dimostrazioni piu' dettagliate. Hai bisogno del fatto che in $F_p[x]$, $x^{p^n}-x$ si fattorizza in irriducibili monici diversi tra di loro, tali che il grado di ognuno divide $n$. Sia $N_d$ il numero di irriducibili monici in $F_p[x]$, quindi $p^n=\sum_{d|n} dN_d$. E applicando la prima formula di inversione di Möbius, trovi che questo $N_n=1/n \sum_{d|n} \mu(n/d)p^d$, che e' un numero positivo.

Qui c'e' una dimostrazione piu' algebrica
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=10166