Polinomi irriducibili... ??
Ragazzi mi servirebbe CAPIRE come si svolgono questo tipo di esercizi...grazie mille a tutti per l'aiuto e la pazienza..io brancolo nel buio..!!! 
Per K = C, R, Z13 scrivere $x+3$ come prodotto di polinomi irriducibili in K[x].
Grazie ancora!
Per K = C, R, Z13 scrivere $x+3$ come prodotto di polinomi irriducibili in K[x].
Grazie ancora!
Risposte
Sei sicuro che il polinomio sia giusto?
"mistake89":
Sei sicuro che il polinomio sia giusto?
Sì..almeno..era in un appello di matematica discreta della mia prof...
Beh quello è già un fattore irriducibile.
"mistake89":
Beh quello è già un fattore irriducibile.
Mmh...hai ragione! E' vero..!! (Perché erano dei Vero o Falso)!
Ma se tipo avessi avuto $ x^3 + 3 $ ?
Grazie!
Pensa un pò alle proprietà fondamentali che ci sono nei diversi campi che hai citato. Tipo in $CC$ sai che per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio è sempre fattorizzabile. E' lo stesso per $RR$?! E' lo stesso per $ZZ_13?$
"Lorin":
Pensa un pò alle proprietà fondamentali che ci sono nei diversi campi che hai citato. Tipo in $CC$ sai che per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio è sempre fattorizzabile. E' lo stesso per $RR$?! E' lo stesso per $ZZ_13?$
mmh..in $R$ non posso scomporlo più di così, no? Se avessi avuto $x^3 - 3 $ sì, ma con un $+$....
No fai attenzione, perchè questo è un discorso che in generale non puoi fare se ti trovi in $RR$. Questo perchè un polinomio di terzo grado in $RR$ può essere sempre fattorizzato nel prodotto di un polinomio di primo grado e di uno di secondo grado. Questo perchè da $f(x) in RR$ potresti trovare sia 3 radici reali distinte, che una radice reale e due complesse (perchè se ne ammette una complessa allora ne hai anche un'altra, che sarebbe la coniugata della prima), quindi è sempre fattorizzabile.
La scomposizione dei polinomi è un discorso articolato e secondo me abbastanza delicato.
Come ti ha detto Lorin in $CC$ ogni polinomio non costante ammette una radice in $CC$, questo perchè è un campo algebricamente chiuso.
$RR$ e gli $ZZ_p$ non lo so, per cui non sai a priori quali siano i polinomi irriducibili.
In aiuto il primo strumento che mi viene in mente è il teorema di ruffini che ci dice che se $alpha$ è radice allora $x-alpha$ divide il polinomio. E di conseguenza ottieni un polinomio $g$ tale che $f=g(x-alpha)$ con $g$ di grado $n-1$ se $f$ ha grado $n$.
Considera che il fatto che un polinomio non ammetta radici non è una condizione sufficiente ad assicurare l'irriducibilità di un polinomio. Poiché, in virtù del th. precedente, l'assenza di radici ci dice che non esistono fattori di primo grado nel nostro polinomio.
Scusami se il discorso non è chiaro, ma è davvero un argomento vasto che meriterebbe di essere affrontato con calma e gradualmente.
Se hai dubbi chiedi pure
EDIT: sistemata definizione di campo algebricamente chiuso!
Come ti ha detto Lorin in $CC$ ogni polinomio non costante ammette una radice in $CC$, questo perchè è un campo algebricamente chiuso.
$RR$ e gli $ZZ_p$ non lo so, per cui non sai a priori quali siano i polinomi irriducibili.
In aiuto il primo strumento che mi viene in mente è il teorema di ruffini che ci dice che se $alpha$ è radice allora $x-alpha$ divide il polinomio. E di conseguenza ottieni un polinomio $g$ tale che $f=g(x-alpha)$ con $g$ di grado $n-1$ se $f$ ha grado $n$.
Considera che il fatto che un polinomio non ammetta radici non è una condizione sufficiente ad assicurare l'irriducibilità di un polinomio. Poiché, in virtù del th. precedente, l'assenza di radici ci dice che non esistono fattori di primo grado nel nostro polinomio.
Scusami se il discorso non è chiaro, ma è davvero un argomento vasto che meriterebbe di essere affrontato con calma e gradualmente.
Se hai dubbi chiedi pure
EDIT: sistemata definizione di campo algebricamente chiuso!
"Lorin":
No fai attenzione, perchè questo è un discorso che in generale non puoi fare se ti trovi in $RR$. Questo perchè un polinomio di terzo grado in $RR$ può essere sempre fattorizzato nel prodotto di un polinomio di primo grado e di uno di secondo grado. Questo perchè da $f(x) in RR$ potresti trovare sia 3 radici reali distinte, che una radice reale e due complesse (perchè se ne ammette una complessa allora ne hai anche un'altra, che sarebbe la coniugata della prima), quindi è sempre fattorizzabile.
Mmh...ma come faccio a trovare i polinomi di 1° e 3° grado che lo dividono? Cioè che passaggi devo fare?
@mistake89, grazie per la chiarificazione, comunque ci sono sul fatto che in $C$ se ho $x^3$ avrò tutte e 3 le soluzioni..
Grazie!
"mistake89":
in $CC$ ogni polinomio non costante è scomponibile, questo perchè è un campo algebricamente chiuso.
Falso.
Ogni polinomio di grado [tex]$\geq 2$[/tex] è sempre scomponibile in [tex]$\mathbb{C} [x]$[/tex], ma quelli di grado [tex]$1$[/tex] sono irriducibili.
Beh se si dividesse in due polinomi questi sarebbero di grado due e di grado uno, monici.
Per cui presi due polinomi generici $x^2+ax+b$ e $x+c$, moltiplicali tra loro e sfruttando il principio di identità dei polinomi eguagliali al polinomio di partenza e ricava $a,b,c in RR$
Per cui presi due polinomi generici $x^2+ax+b$ e $x+c$, moltiplicali tra loro e sfruttando il principio di identità dei polinomi eguagliali al polinomio di partenza e ricava $a,b,c in RR$
"gugo82":
[quote="mistake89"]in $CC$ ogni polinomio non costante è scomponibile, questo perchè è un campo algebricamente chiuso.
Falso.
Ogni polinomio di grado [tex]$\geq 2$[/tex] è sempre scomponibile in [tex]$\mathbb{C} [x]$[/tex], ma quelli di grado [tex]$1$[/tex] sono irriducibili.[/quote]
Hai ragione, edito. Volevo dire ovviamente che ammette una radice.
Grazie per avermelo fatto notare!
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