Polinomi irriducibili, 2 dubbi su esercizio
Ciao 
ho un dubbio riguardo lo svolgimento di un esercizio giudato: nella scomposizione in irriducibili in $Z_3[x]$ di
$f(x)=x^5+2x^4-2x^3-4x^2-3x+6$
giunge a
1) $f(x)=(x^4-2x^2-3)(x+2)$
e tratta (primo dubbio) (x^4-2x^2-3) risolvendo una eq di secondo grado ma in Z, perché mi chiedo posso svolgerla come tale? Non capisco quale teorema mi assicuri potermi portare a calcoli in Z.
Portiamoci infine alla scomposizione finale
2) $f(x)=(x^2+1)x^2(x+2)$ (tutti i numeri sono da intendersi classi)
Dice, per verificare che (x^2+1) è irriduzibile in $ZZ_3[x]$ basta sostituire 0,1,2 e accorgerci che è privo di radici. Insomma No radici => irriducibile
Ma qui sorge il mio secondo dubbio non avere radici non vuol dire che sicuramente è irriducibile un polinomio, prendiamo ad esempio g in $QQ[x]$ che sia $g=(x^2+1)(x^2+2)$ beh non ha radici ma è riducubilissimo g infatti l'ho proprio scritto come due divisori propri irriducibili!
Quindi il perché di "=>" al punto 2) mi è molto oscuro.
Spero in un aiuto su questi due dubbi e ringrazio!
ho un dubbio riguardo lo svolgimento di un esercizio giudato: nella scomposizione in irriducibili in $Z_3[x]$ di
$f(x)=x^5+2x^4-2x^3-4x^2-3x+6$
giunge a
1) $f(x)=(x^4-2x^2-3)(x+2)$
e tratta (primo dubbio) (x^4-2x^2-3) risolvendo una eq di secondo grado ma in Z, perché mi chiedo posso svolgerla come tale? Non capisco quale teorema mi assicuri potermi portare a calcoli in Z.
Portiamoci infine alla scomposizione finale
2) $f(x)=(x^2+1)x^2(x+2)$ (tutti i numeri sono da intendersi classi)
Dice, per verificare che (x^2+1) è irriduzibile in $ZZ_3[x]$ basta sostituire 0,1,2 e accorgerci che è privo di radici. Insomma No radici => irriducibile
Ma qui sorge il mio secondo dubbio non avere radici non vuol dire che sicuramente è irriducibile un polinomio, prendiamo ad esempio g in $QQ[x]$ che sia $g=(x^2+1)(x^2+2)$ beh non ha radici ma è riducubilissimo g infatti l'ho proprio scritto come due divisori propri irriducibili!
Quindi il perché di "=>" al punto 2) mi è molto oscuro.
Spero in un aiuto su questi due dubbi e ringrazio!
Risposte
Se con $\mathbb Z_3$ intendi \(\mathbb Z/3\mathbb Z\), ricordati che $3=0$.
Un polinomio di grado $\leq 3$ è irriducibile se e solo se non ha radici. Il tuo esempio è di grado 4.
Un polinomio di grado $\leq 3$ è irriducibile se e solo se non ha radici. Il tuo esempio è di grado 4.
"hydro":
Un polinomio di grado $\leq 3$ è irriducibile se e solo se non ha radici.
Questo risultato mi mancava, dalla teoria avevo solo dimostrato al massimo che: se f è (con un K) in K[x] e deg(f)=2 => f è riducibile in K[x].
Mi mancava la parte $<=3$ e il se e solo se, hai un link con una dimostrazione a riguardo? grazie
PS: non ho invece capito la risposta al primo dubbio
, posso chiederti qualche delucidazione in più...
Devi fattorizzare $x^4-2x^2-3$. Ma $3=0$. Come prosegui?
Riguardo all'altro punto, direi che puoi dimostrarlo da solo, è molto semplice ed un buon esercizio. Ricordati che se $f,g$ sono polinomi a coefficienti in un campo (o più in generale in un dominio d'integrità), allora il grado di $f\cdot g$ è uguale alla somma dei gradi di $f$ e $g$.
Riguardo all'altro punto, direi che puoi dimostrarlo da solo, è molto semplice ed un buon esercizio. Ricordati che se $f,g$ sono polinomi a coefficienti in un campo (o più in generale in un dominio d'integrità), allora il grado di $f\cdot g$ è uguale alla somma dei gradi di $f$ e $g$.
Ok per la seconda parte provo a seguire il tuo hint
per la prima io farei:
$(x^4−2x^2−3)(x+2)=(x^4-2x^2)(x+2)=x^2((x^2-2)(x+2)=x^2(x^2+1)(x+2)$ con -2=1.
Tuttavia vedo, seguendo il testo, che posso anche ricavarla come: $(x^4−2x^2−3)(x+2)$ sostituisco t=x^2 e risolvo al 2 grado (t+1)(t-3)
Quindi sostituendo al contrario: $(x^2+1)(x^2-3)(x+2)$ e da qui per le congruenze modulo si giunge facilmente allo stesso risultato precedente.
Però quello che mi perplime non è il lavorare sulle classi di resto modulo, quanto il non capire perché posso scomporlo usando il metodo risolutivo per una classica eq. di secondo grado però in Z, non in Z_3.
per la prima io farei:
$(x^4−2x^2−3)(x+2)=(x^4-2x^2)(x+2)=x^2((x^2-2)(x+2)=x^2(x^2+1)(x+2)$ con -2=1.
Tuttavia vedo, seguendo il testo, che posso anche ricavarla come: $(x^4−2x^2−3)(x+2)$ sostituisco t=x^2 e risolvo al 2 grado (t+1)(t-3)
Quindi sostituendo al contrario: $(x^2+1)(x^2-3)(x+2)$ e da qui per le congruenze modulo si giunge facilmente allo stesso risultato precedente.
Però quello che mi perplime non è il lavorare sulle classi di resto modulo, quanto il non capire perché posso scomporlo usando il metodo risolutivo per una classica eq. di secondo grado però in Z, non in Z_3.
Perchè pensaci, in quel metodo di scomposizione dove usi davvero il fatto di essere in $\mathbb Z$? Per rendere la domanda più precisa, sai che vale il seguente fatto: se $f=x^4+ax^2+b\in \mathbb Z[x]$ è tale che $x^2+ax+b=(x+u)(x+v)$ per qualche $u,v\in \mathbb Z$, allora $f=(x^2+u)(x^2+v)$. Ora scrivi una dimostrazione di questo enunciato. Cosa cambia se $a,b$ vivono in un dominio di integrità qualsiasi?
In effetti (ovviamente) hai ragione, credo mi avesse fuorviato il fatto che lo uso da così tanti anni che ormai per me era una "cosa" (automatismo) di Z,Q,R mentre le classi fatico un po' a maneggiarle e ho sempre paura di rompere qualche uovo .
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