Polinomi irriducibili

[faby99s]

Buon pomeriggio potete aiutarmi a fare questo esercizi:

Per quali primi positivi p il polinomio $ f_p = bar30x^5 + x^3 +bar 2x +bar 2 ∈ Zp[x] $ ha grado 3?
(i) Per ciascuno di tali primi p, scrivere$ f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in $Zp[x]$.
(ii) Il polinomio $x3 + 2x + 2$ `e irriducibile in $R[x]$ ? Ha radici in R?

Allora ho calcolato:
$f(bar3) = bar 7325$
quindi:

$P={bar 5}$

Ora per trasformarlo in polinomio irriducibile monico, ho fatto nel seguente modo:

$x^3(bar30x^2+bar1)+bar2(x+bar1)$
dove

1) $(x+bar1)$ e irriducibile perche ha grado uno ed ha una sola radice ovvero $f(-bar1)$
2) $x^3(bar30x^2+bar1)$ non è irriducibile perche se $f(bar0)$ allora ho una radice quindi lo scompongo come??
Mentre per:

(ii)
$x3 + 2x + 2$
non è irridubicibile perche i polinomi irriducibili in $R[X]$ hanno grado <= 2 ed non ha radici.

Potete aiutarmi a verificare se è corretto o sbagliato?
Grazie

[solaàl]

"sara09":Per quali primi positivi p il polinomio $ f_p = bar30x + x +bar 2x +bar 2 ∈ Zp[x] $ ha grado 3?

Nessuno, ha al più grado 1.

[faby99s]

"solaàl":[quote="sara09"]Per quali primi positivi p il polinomio $ f_p = bar30x + x +bar 2x +bar 2 ∈ Zp[x] $ ha grado 3?

Nessuno, ha al più grado 1.[/quote]
sbagliato a scrivere il polinomio di partenza l'ho corretto...scusami

[solaàl]

Chi pensi ti aiuti, se non presti attenzione nemmeno alle domande che fai?

[faby99s]

"solaàl":Chi pensi ti aiuti, se non presti attenzione nemmeno alle domande che fai?

scusami

[solaàl]

Per stavolta! Tuttavia non c'è motivo di valutare quel polinomio in 3... i primi per cui ha grado 3 sono quelli per cui 30, modulo p, non è zero; ora, quali sono i primi per cui \(30\equiv 0\pmod{p}\)?

[faby99s]

"solaàl":Per stavolta! Tuttavia non c'è motivo di valutare quel polinomio in 3... i primi per cui ha grado 3 sono quelli per cui 30, modulo p, non è zero; ora, quali sono i primi per cui \(30\equiv 0\pmod{p}\)?

Sono 3 e 5...ma in P=3 non ci sono radici quindi è già irriducibile?

Mentre in P=5 , ho che:

$x^3(bar30x^2+bar1)+bar2(x+bar1)$
dove

1) $(x+bar1)$ e irriducibile perche ha grado uno ed ha una sola radice ovvero $f(-bar1)$
2) $x^3(bar30x^2+bar1)$ non è irriducibile perchè se $f(bar0)=0$ allora ho una radice quindi devo renderlo privo di radici cioè devo scomporlo ancora ma come?

[@melia]

"sara09":[quote="solaàl"]Per stavolta! Tuttavia non c'è motivo di valutare quel polinomio in 3... i primi per cui ha grado 3 sono quelli per cui 30, modulo p, non è zero; ora, quali sono i primi per cui \(30\$ bar30=-_p=0 $equiv 0\pmod{p}\)?

Sono 3 e 5...ma in P=3 non ci sono radici quindi è già irriducibile?
[/quote]
Veramente anche 2 è primo

"sara09":
Mentre in P=5 , ho che:

$x^3(bar30x^2+bar1)+bar2(x+bar1)$

Ma $bar30equiv bar0$ quindi il tutto diventa $x^3+bar2x+bar2$

[faby99s]

"@melia":[quote="sara09"][quote="solaàl"]Per stavolta! Tuttavia non c'è motivo di valutare quel polinomio in 3... i primi per cui ha grado 3 sono quelli per cui 30, modulo p, non è zero; ora, quali sono i primi per cui \(30\$ bar30=-_p=0 $equiv 0\pmod{p}\)?

Sono 3 e 5...ma in P=3 non ci sono radici quindi è già irriducibile?
[/quote]
Veramente anche 2 è primo

"sara09":
Mentre in P=5 , ho che:

$x^3(bar30x^2+bar1)+bar2(x+bar1)$

Ma $bar30equiv bar0$ quindi il tutto diventa $x^3+bar2x+bar2$[/quote]

Okay quindi sia in $p=3$ che in $p=5$ mi ritrovo con:
$x^3+bar2x+bar2$
che è irriducibile mentre se ad esempio $p=2$...ho che
$2(x+1)$
e irriducibile mentre:
$x^3(bar30x^2+bar1)$
è riducibile perchè se x=0 ho che tutto il polinomio è 0 quindi ho una radice però
$(bar30x^2+bar1)$
e irriducibile....quindi come posso scomporlo?