Polinomi in R[x]
Ciao,
volevo chiedervi conferma su una dimostrazione che ho provato a fare e di cui non sono molto sicura. Allora, il testo è questo:
Dimostrare che se \(\displaystyle p(x) \) è un polinomio monico di grado \(\displaystyle n>2 \) tale che \(\displaystyle p(x) >0 \) per ogni x reale, allora \(\displaystyle p(x) \) può essere scritto come somma di quadrati
Io ho provato a dimostrarla per induzione:
Per \(\displaystyle n=2 \) è vera perchè: \(\displaystyle p(x) = a_0 + a_1x + x^2 = (x+\frac{a_1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{4a_0 - a_1^2}}{2})^2 \) e sono certa che \(\displaystyle 4a_0 - a_1^2 > 0 \) perchè \(\displaystyle p(x) > 0 \) per ogni x reale e quindi il \(\displaystyle \Delta = a_1^2 - 4a_0 <0 \)
Suppomgo vero per \(\displaystyle n \): \(\displaystyle a_0 + a_1x + ... + x^n = (x^{n/2} + p)^2 + q^2 \)
Dimostra vero per \(\displaystyle n+1 \): \(\displaystyle a_0 + a_1x + ... + x^n = (x^{n/2} + p)^2 + q^2 + x^{n+1} = (x^{n/2} + p)^2 + q^2 + (x^{\frac{n+1}{2}})^2 \)
Che ve ne pare? Potrebbe funzionare?
Un altro punto chiedeva: Tale risultato continua a valere anche se \(\displaystyle p(x) > = 0 \) Secondo me no perchè è possibile che rimanga un quadrato solo e l'altro si annulli. E' corretto?
Grazie..
volevo chiedervi conferma su una dimostrazione che ho provato a fare e di cui non sono molto sicura. Allora, il testo è questo:
Dimostrare che se \(\displaystyle p(x) \) è un polinomio monico di grado \(\displaystyle n>2 \) tale che \(\displaystyle p(x) >0 \) per ogni x reale, allora \(\displaystyle p(x) \) può essere scritto come somma di quadrati
Io ho provato a dimostrarla per induzione:
Per \(\displaystyle n=2 \) è vera perchè: \(\displaystyle p(x) = a_0 + a_1x + x^2 = (x+\frac{a_1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{4a_0 - a_1^2}}{2})^2 \) e sono certa che \(\displaystyle 4a_0 - a_1^2 > 0 \) perchè \(\displaystyle p(x) > 0 \) per ogni x reale e quindi il \(\displaystyle \Delta = a_1^2 - 4a_0 <0 \)
Suppomgo vero per \(\displaystyle n \): \(\displaystyle a_0 + a_1x + ... + x^n = (x^{n/2} + p)^2 + q^2 \)
Dimostra vero per \(\displaystyle n+1 \): \(\displaystyle a_0 + a_1x + ... + x^n = (x^{n/2} + p)^2 + q^2 + x^{n+1} = (x^{n/2} + p)^2 + q^2 + (x^{\frac{n+1}{2}})^2 \)
Che ve ne pare? Potrebbe funzionare?
Un altro punto chiedeva: Tale risultato continua a valere anche se \(\displaystyle p(x) > = 0 \) Secondo me no perchè è possibile che rimanga un quadrato solo e l'altro si annulli. E' corretto?
Grazie..
Risposte
Secondo me il caso \(n=2\) è corretto, invece il resto della dimostrazione mi sembra scorretta.
Io ragionerei cosi. Il polinomio \(\displaystyle p(x)\) assume un valore minimo in \(m>0\) in \( \displaystyle \mathbb{R}\), sia \( x_1\) un punto tale che \( p(x_1)=m>0\),
allora abbiamo \( p(x)-m=(x-x_1)^{j_1}Q_1(x)\) con \( Q_1(x_1) \neq 0\) e siccome \( p(x)-m \geq 0\) deve necessaramente
essere \( Q_1(x)\geq 0\) e \(j_1\) deve essere pari. Se esiste un altro punto \(x_2\) tale che \(p(x_2)=m\) allora deve essere
\(Q_1(x)=(x-x_2)^{j_2}Q_2(x) \) con \(j_2\) pari e \( Q_2(x_2) \neq 0\) e quindi \( Q_2(x) \geq0 \). In definitiva possiamo scrivere:
\( p(x)=m+g(x)^2Q(x)\) con \( Q(x)>0\) per induzione sul grado applicata a \( Q(x)\) segue l'asserto.
Io ragionerei cosi. Il polinomio \(\displaystyle p(x)\) assume un valore minimo in \(m>0\) in \( \displaystyle \mathbb{R}\), sia \( x_1\) un punto tale che \( p(x_1)=m>0\),
allora abbiamo \( p(x)-m=(x-x_1)^{j_1}Q_1(x)\) con \( Q_1(x_1) \neq 0\) e siccome \( p(x)-m \geq 0\) deve necessaramente
essere \( Q_1(x)\geq 0\) e \(j_1\) deve essere pari. Se esiste un altro punto \(x_2\) tale che \(p(x_2)=m\) allora deve essere
\(Q_1(x)=(x-x_2)^{j_2}Q_2(x) \) con \(j_2\) pari e \( Q_2(x_2) \neq 0\) e quindi \( Q_2(x) \geq0 \). In definitiva possiamo scrivere:
\( p(x)=m+g(x)^2Q(x)\) con \( Q(x)>0\) per induzione sul grado applicata a \( Q(x)\) segue l'asserto.
CIao e grazie per la tua risposta.. Nono sono sicura di aver capito bene però...
NOn ho capito perchè dici che siccome \(\displaystyle p(x)−m≥0 \) deve necessaramente essere \(\displaystyle Q1(x)≥0 \) . Non potrebbe essere \(\displaystyle Q1(x)<0 \) con \(\displaystyle (x−x1)^j1 <0 \) e \(\displaystyle j1 \) dispari?
NOn ho capito perchè dici che siccome \(\displaystyle p(x)−m≥0 \) deve necessaramente essere \(\displaystyle Q1(x)≥0 \) . Non potrebbe essere \(\displaystyle Q1(x)<0 \) con \(\displaystyle (x−x1)^j1 <0 \) e \(\displaystyle j1 \) dispari?
Se \(j_1\) fosse dispari allora in un intorno di \(x_1\) avremmo \(Q_1(x)\) con segno costante, ma \((x-x_1)^{j_1}\) con segni opposti nei due semintorni e quindi \(p(x)-m\) avrebbe segno negativo.
Ah, è vero.. capito.. Grazie!
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