Polinomi in $CC$ in n variabili
Ciao tutti!
Vi sottopongo il seguente esercizio dall'aria innoqua..ma forse non poi così tanto. Insomma, parliamone
Provare che se $f in CC[x_1, ---, x_n]$ si annulla in ogni punto di $ZZ^n$, allora il polinomio $f$ è il polinomio nullo.
Qui di seguito c'è la mia soluzione; il problema è che non ho mai usato il fatto che siamo proprio in $CC[x_1, ..., x_n]$, quindi temo ci sia qualcosa di sbagliato...
Sia $ f=a_1 (x_1)^n + a_2 (x_1)^(n-1) x_2+ ... + a_l (x_n)^n$
per ogni $(x_1, ..., x_n) in ZZ^n, f=0$
Suppongo che un coefficiente sia non nullo:
allora $f$ avrà la forma $f= a_i ($monomio in x_1, ..., x_n di grado d, $0<=d<=n) $
se il monomio ha grado 0, per ipotesi $a_i=0$
consideriamo ora $1<=d<=n$
prendiamo una enupla $(y_1, ..., y_n)$ tale che $y_i != 0$ per $1<=i<=n$
Allora, per ipotesi $f= a_i ($monomio in y_1, ..., y_n di grado d, $1<=d<=n) = 0$
il monomio è un prodotto di fattori non nulli, $ZZ^n$ dominio d'integrità, dunque è diverso da 0.
Dunque $a_i$ dev'essere uguale a zero.
che dite?
Vi sottopongo il seguente esercizio dall'aria innoqua..ma forse non poi così tanto. Insomma, parliamone
Provare che se $f in CC[x_1, ---, x_n]$ si annulla in ogni punto di $ZZ^n$, allora il polinomio $f$ è il polinomio nullo.
Qui di seguito c'è la mia soluzione; il problema è che non ho mai usato il fatto che siamo proprio in $CC[x_1, ..., x_n]$, quindi temo ci sia qualcosa di sbagliato...
Sia $ f=a_1 (x_1)^n + a_2 (x_1)^(n-1) x_2+ ... + a_l (x_n)^n$
per ogni $(x_1, ..., x_n) in ZZ^n, f=0$
Suppongo che un coefficiente sia non nullo:
allora $f$ avrà la forma $f= a_i ($monomio in x_1, ..., x_n di grado d, $0<=d<=n) $
se il monomio ha grado 0, per ipotesi $a_i=0$
consideriamo ora $1<=d<=n$
prendiamo una enupla $(y_1, ..., y_n)$ tale che $y_i != 0$ per $1<=i<=n$
Allora, per ipotesi $f= a_i ($monomio in y_1, ..., y_n di grado d, $1<=d<=n) = 0$
il monomio è un prodotto di fattori non nulli, $ZZ^n$ dominio d'integrità, dunque è diverso da 0.
Dunque $a_i$ dev'essere uguale a zero.
che dite?
Risposte
Chiedo perdono, ho scritto il polinomio come se tutti i termini dovessero avere grado massimo, ma non è così, immaginate un polinomio qualunque
Dimostro per comodità il seguente equivalente teorema:
Sia $f \in CC[x_1, ... , x_n]$ un polinomio non nullo, allora è non nullo in almeno un punto di $ZZ^n$.
Lo dimostro per induzione.
$n = 1$ È immediato in quanto ogni polinomio non nullo in $CC[x]$ ha $d$ radici dove $d$ è il suo grado
$n > 1$ Suppongo che il teorema sia valido per $n - 1$ e scrivo il polinomio $f$ come un polinomio in una indeterminata con coefficienti in $CC[x_1, ... , x_{n-1}]$.
Ogni coefficiente del polinomio si annulla solo in un numero finito di punti di $Z_{n-1}$. Inoltre quando almeno uno dei coefficienti è non nullo $f$ è un polinomio non nullo in una indeterminata e quindi si azzera solo in un numero finito di punti. Il numero di zeri del polinomio è quindi finito anche in questo caso.
Sia $f \in CC[x_1, ... , x_n]$ un polinomio non nullo, allora è non nullo in almeno un punto di $ZZ^n$.
Lo dimostro per induzione.
$n = 1$ È immediato in quanto ogni polinomio non nullo in $CC[x]$ ha $d$ radici dove $d$ è il suo grado
$n > 1$ Suppongo che il teorema sia valido per $n - 1$ e scrivo il polinomio $f$ come un polinomio in una indeterminata con coefficienti in $CC[x_1, ... , x_{n-1}]$.
Ogni coefficiente del polinomio si annulla solo in un numero finito di punti di $Z_{n-1}$. Inoltre quando almeno uno dei coefficienti è non nullo $f$ è un polinomio non nullo in una indeterminata e quindi si azzera solo in un numero finito di punti. Il numero di zeri del polinomio è quindi finito anche in questo caso.
grazie!
Però mi domando, cosa non va nella mia soluzione?
Ci sono diversi errori nella tua dimostrazione. Quando hai definito $f$ sembra tu abbia preso in considerazione solo polinomi in $n$ indeterminate omogenei di grado $n$. Un caso molto particolare di polinomio in $n$ indeterminate. Dopodiché tu hai fatto due assunzioni che non sono valide in generale:
1. Il grado di ogni monomio è minore o uguale a $n$. Ci sono polinomi in $n$ indeterminate di grado maggiore di $n$.
2. Il polinomio può essere scritto come un singolo monomio. Il fatto che tu abbia supposto che un coefficiente sia non nullo non implica che gli altri siano uguali a zero.
1. Il grado di ogni monomio è minore o uguale a $n$. Ci sono polinomi in $n$ indeterminate di grado maggiore di $n$.
2. Il polinomio può essere scritto come un singolo monomio. Il fatto che tu abbia supposto che un coefficiente sia non nullo non implica che gli altri siano uguali a zero.
Già..
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