Polinomi e riducibilità
Ciao
Devo mostrare che ogni polinomio in $RR[x]$ di grado dispari ammetta almeno una radice in $RR$
Ho cominciato facendo due considerazioni, ponendo $partialP(x)=2n+1$ e supponiamolo monico
1. Visto come polinomio su $CC$ ha esattamente $2n+1$ radici, dunque
2. Un polinomio a coefficienti reali su $CC$ è tale per cui se $alpha$ è una radice allora $overline(alpha)$ è anch’essa una radice
Essendo in un campo $CC[x]$ è un dominio di integrità pertanto dovrà essere
E mo?
Supponendo per assurdo che non abbia alcuna radice in $RR$(avendo grado dispari) riuscirei a fattorizzare il polinomio in fattori di secondo grado in $RR[x]$ avendo grado pari, nonché un assurdo.
Però non è che mi piaccia tanto
Devo mostrare che ogni polinomio in $RR[x]$ di grado dispari ammetta almeno una radice in $RR$
Ho cominciato facendo due considerazioni, ponendo $partialP(x)=2n+1$ e supponiamolo monico
1. Visto come polinomio su $CC$ ha esattamente $2n+1$ radici, dunque
$P(x)=prod_(j=1)^(2n+1)(x-alpha_j)$
2. Un polinomio a coefficienti reali su $CC$ è tale per cui se $alpha$ è una radice allora $overline(alpha)$ è anch’essa una radice
$P(x)=prod_(j=1)^(2n+1)(x-alpha_j)(x-overline(alpha_j))$
Essendo in un campo $CC[x]$ è un dominio di integrità pertanto dovrà essere
$prod_(j=1)^(2n+1)(x-overline(alpha_j))=1$
E mo?
Supponendo per assurdo che non abbia alcuna radice in $RR$(avendo grado dispari) riuscirei a fattorizzare il polinomio in fattori di secondo grado in $RR[x]$ avendo grado pari, nonché un assurdo.
Però non è che mi piaccia tanto
Risposte
"anto_zoolander":
Essendo in un campo $CC[x]$ è un dominio di integrità pertanto dovrà essere
$prod_(j=1)^(2n+1)(x-overline(alpha_j))=1$
Cosa?
Comunque se sai che se $P(\zeta)=0=>P(\bar{\zeta})=0$ hai un numero pari di radici non reali, quindi non possono essere tutte, cioè almeno una è reale.
Lasciamo perdere la prima parte che penso non serva a nulla.
Pensavo che se per assurdo non avesse alcuna radice reale si scomporrebbe in un polinomio di grado pari, come assurdo non basta?
In fondo $P(x)=prod_(j=1)^(t)(x^2-(alpha_j+overline(alpha_j))x+alpha_j*overline(alpha_j))$
Dove ci sono $2t$ fattori. Quindi deve avere almeno una radice reale altrimenti avrebbe grado pari.
Pensavo che se per assurdo non avesse alcuna radice reale si scomporrebbe in un polinomio di grado pari, come assurdo non basta?
In fondo $P(x)=prod_(j=1)^(t)(x^2-(alpha_j+overline(alpha_j))x+alpha_j*overline(alpha_j))$
Dove ci sono $2t$ fattori. Quindi deve avere almeno una radice reale altrimenti avrebbe grado pari.
Non avevo capito che intendevo questo, che in effetti va bene, ma secondo me è poco elegante...
Un polinomio $p(x)$ è una funzione continua; \(\lim_{\pm\infty} p(x) = \pm\infty\) (perché ha grado dispari), sicché per il teorema degli zeri $p$ deve annullarsi almeno una volta.
Per una volta nella mia vita volevo non usare l’analisi, questa dimostrazione la sapevo 
C'è stato un malinteso tra me ed il libro, creato dal libro 
sul libro afferma che:
se $P(x) in CC[x]$ è tale per cui i coefficienti siano tutti reali, allora per ogni radice $z inCC$ segue che $overline(z)$ è anch'essa radice.
ponendoci più attenzione mi sono reso conto che il teorema vale se $z in CCsetminusRR$ è una radice allora $overline(z)$ è anch'essa una radice
significa che se un polinomio a coefficienti reali ha tutte radici complesse allora ha grado pari, in quanto
pertanto sarà $partialP(x)=2t$
chiaramente per contronominale segue immediatamente la tesi di quello che volevo dimostrare
@otta
forse volevi condurmi a questo, sbaglio?
sul libro afferma che:
se $P(x) in CC[x]$ è tale per cui i coefficienti siano tutti reali, allora per ogni radice $z inCC$ segue che $overline(z)$ è anch'essa radice.
ponendoci più attenzione mi sono reso conto che il teorema vale se $z in CCsetminusRR$ è una radice allora $overline(z)$ è anch'essa una radice
significa che se un polinomio a coefficienti reali ha tutte radici complesse allora ha grado pari, in quanto
$P(x)=prod_(j=1)^(t)(x-z_j)(x-overline(z_j))$
pertanto sarà $partialP(x)=2t$
chiaramente per contronominale segue immediatamente la tesi di quello che volevo dimostrare
@otta
forse volevi condurmi a questo, sbaglio?
Non lo avevi già detto?
"anto_zoolander":
2. Un polinomio a coefficienti reali su $CC$ è tale per cui se $alpha$ è una radice allora $overline(alpha)$ è anch’essa una radice
$P(x)=prod_(j=1)^(2n+1)(x-alpha_j)(x-overline(alpha_j))$
si ma sottintendevo che fosse $alpha in CC$ generico, non in $CCsetminusRR$
è chiaro che se $alpha in RR$ sia una radice non ha nemmeno senso dire che $overline(alpha)$ sia anch'essa una radice perchè è ovvio e non ci da alcuna informazioni.
La cosa importante in questo caso è che per ogni soluzione 'immaginaria' la coniugata è ancora soluzione e quindi si hanno due quantità distinte che da vita a un polinomio di grado pari se ha tutte soluzioni immaginarie.
è chiaro che se $alpha in RR$ sia una radice non ha nemmeno senso dire che $overline(alpha)$ sia anch'essa una radice perchè è ovvio e non ci da alcuna informazioni.
La cosa importante in questo caso è che per ogni soluzione 'immaginaria' la coniugata è ancora soluzione e quindi si hanno due quantità distinte che da vita a un polinomio di grado pari se ha tutte soluzioni immaginarie.
Comunque questo risultato spesso viene usato per dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra, quindi o decidi di usare altre dimostrazioni (che non sono algebriche) o ti tocca dimostrare questo fatto in un altro modo.
sono fedele alla dimostrazione del teorema per mezzo dell'analisi complessa.
Quì ho assunto il teorema fondamentale dell'algebra come vero, quindi chiaramente la seguo in questo modo
che alla fine mi piace parecchio come dimostrazione, semplice e concisa.
Quì ho assunto il teorema fondamentale dell'algebra come vero, quindi chiaramente la seguo in questo modo
conoscenze di analisi complessa che ancora non ho =>TFA => questo
che alla fine mi piace parecchio come dimostrazione, semplice e concisa.
Se fai affidamento alla dimostrazione di analisi complessa va bene, era giusto per dire che non puoi fare tutto rimanendo nell'algebra, come sembrava volessi fare.
Tranquillo è lungi da me l’essere algebrista
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