Polinomi e radici modulo p.

[Kashaman]

Esercizio :
sia $f(X)=X^4+72X^3+76X^2-91X+147$
Determinare un p primo tale che $f(x) in ZZ_p[x] $ abbia come radici $[1]_p ,[2]_p,[3]_p,[4]_p$.

Io ho ragionato cosi.
se $f(x)$ ha come radici $[1]_p ,[2]_p,[3]_p,[4]_p$, allora
$f([1]_p)=[205]_p=[0]_p$
$f([2]_p)=[852]_p=[0]_p$
$f([3]_p)=[2609]_p=[0]_p$
$f([4]_p)=[5863]_p=[0]_p$
Dunque si ha allora che, contemporaneamente :
$p|205$
$p|852$
$p|2609$
$p|5863$
Ma allora $p= M.C.D(205,852,2609,5863)= M.C.D(M.C.D(205,852),M.C.D(2609,5863))= 1$ aSSURDO
Dunque non esiste p che soddisfa le condizioni richieste.
Giusto come ragionamento, oppure notate delle pecche?
Grazie per una vostra eventuale risposta

[Gi81]

Un piccolo appunto. Dal fatto che $p$ deve dividere quei quattro numeri si ha che $p$ divide il M.C.M., non che è uguale.

Per il resto, mi sembra tutto ok.

Anche se personalmente ritengo che sia un po' troppo "contosa" come risoluzione.

Io mi sarei fermato a $f(1)= 205=41*5$, da cui $p=5$ oppure $p=41$.

Se $p=5$ allora $f(x)=x^4+2x^3+x^2-x+2$ (siamo in $ZZ_5$). In tal modo si ha $f(2)= 1$, dunque $p=5$ non va bene.

Se $p=41$ allora $f(x)=x^4+31x^3-6x^2-11x+24$ (siamo in $ZZ_41$). In tal modo si ha $f(2)= -4$, dunque nemmeno $p=41$ va bene.

[Kashaman]

Ok, allora ho commesso un piccolo errorino.
quindi dal fatto che p divide quei quattro numeri, p divide anche il loro massimo comune divisore, giusto?
Allora, poiché è uno, risulterebbe che $p|1 => P=+-1$ il che è un'assurdo.

Domanda,
mi posso limitare a considerare p=5 e p=41 perché?
Perché altrimenti scendo un p diverso, 1 non sarebbe radice giusto?
pertanto gli unici p papabili sono 5 e 41, giusto?

[Gi81]

Sì, esatto.
$f([1]_p)=$($[205]_p$)$ = [0]_p$ se e solo se $p|205$, cioè se e solo se (dato che $p$ è un numero primo) $p=5 vv p=41$

[Kashaman]

thank you ^.^