Polinomi e irriducibilità
Come posso risolvere questo esercizio?
Determinare per quali n, numeri primi con $n<=17$, il polinomio $x^2+x+1$ è irriducibile in $Z_n[x]$.
Non riesco proprio a vedere una possibile soluzione ... ho provato partendo dal fatto che essendo di grado 2 è irriducibile se non ammette radici, ma non mi è servito a molto!
Determinare per quali n, numeri primi con $n<=17$, il polinomio $x^2+x+1$ è irriducibile in $Z_n[x]$.
Non riesco proprio a vedere una possibile soluzione ... ho provato partendo dal fatto che essendo di grado 2 è irriducibile se non ammette radici, ma non mi è servito a molto!
Risposte
Puoi esaminare i vari casi, sono un numero finito.
C'è un ragionamento più comprensivo in questi casi, che è quello che trovi qui (i polinomi di secondo grado su [tex]\mathbb{Z}_p[/tex] si possono trattare tutti con la legge di reciprocità quadratica). Il tuo caso è addirittura identico a quello che ho discusso lì: dire che [tex]x^2+x+1[/tex] è riducibile in [tex]\mathbb{Z}_p[X][/tex] significa dire che [tex]x^2+x+1 = (x+1/2)^2+3/4[/tex] ha uno zero in [tex]\mathbb{Z}_p[/tex], equivalentemente [tex]-3[/tex] è un quadrato modulo [tex]p[/tex], cioè (usando il simbolo di Legendre) [tex]\left( \frac{-3}{p} \right) = 1[/tex].
C'è un ragionamento più comprensivo in questi casi, che è quello che trovi qui (i polinomi di secondo grado su [tex]\mathbb{Z}_p[/tex] si possono trattare tutti con la legge di reciprocità quadratica). Il tuo caso è addirittura identico a quello che ho discusso lì: dire che [tex]x^2+x+1[/tex] è riducibile in [tex]\mathbb{Z}_p[X][/tex] significa dire che [tex]x^2+x+1 = (x+1/2)^2+3/4[/tex] ha uno zero in [tex]\mathbb{Z}_p[/tex], equivalentemente [tex]-3[/tex] è un quadrato modulo [tex]p[/tex], cioè (usando il simbolo di Legendre) [tex]\left( \frac{-3}{p} \right) = 1[/tex].
"Martino":
Puoi esaminare i vari casi, sono un numero finito.
C'è un ragionamento più comprensivo in questi casi, che è quello che trovi qui (i polinomi di secondo grado su [tex]\mathbb{Z}_p[/tex] si possono trattare tutti con la legge di reciprocità quadratica). Il tuo caso è addirittura identico a quello che ho discusso lì: dire che [tex]x^2+x+1[/tex] è riducibile in [tex]\mathbb{Z}_p[X][/tex] significa dire che [tex]x^2+x+1 = (x+1/2)^2+3/4[/tex] ha uno zero in [tex]\mathbb{Z}_p[/tex], equivalentemente [tex]-3[/tex] è un quadrato modulo [tex]p[/tex], cioè (usando il simbolo di Legendre) [tex]\left( \frac{-3}{p} \right) = 1[/tex].
Purtroppo nel mio corso di algebra non abbiamo trattato la parte di teoria riguardante la legge di reciprocità quadratica ... c'è qualche altro modo?
Prova tutti i casi: in tutto sono sette: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$
ok grazie!
Si puo' anche risolvere l'esercizio senza la reciprocita' quadratica.
Sia $n$ un primo diverso da $3$. Poiche' $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, gli zeri di $x^2+x+1$
in $\Z_n$ $-$se esistono$-$ sono gli elementi di ordine $3$ del gruppo moltiplicativo $\Z_n^\times$.
Il gruppo $\Z_n^\times$ contiene elementi di ordine $3$ se e solo se il suo ordine $n-1$ e' divisibile per $3$.
E quindi la irriducibilita' di $x^2+x+1$ in $\Z_n[x]$ dipende solo dalla classe di $n$ modulo $3$.
Sia $n$ un primo diverso da $3$. Poiche' $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, gli zeri di $x^2+x+1$
in $\Z_n$ $-$se esistono$-$ sono gli elementi di ordine $3$ del gruppo moltiplicativo $\Z_n^\times$.
Il gruppo $\Z_n^\times$ contiene elementi di ordine $3$ se e solo se il suo ordine $n-1$ e' divisibile per $3$.
E quindi la irriducibilita' di $x^2+x+1$ in $\Z_n[x]$ dipende solo dalla classe di $n$ modulo $3$.
"Stickelberger":
Si puo' anche risolvere l'esercizio senza la reciprocita' quadratica.
Sia $n$ un primo diverso da $3$. Poiche' $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, gli zeri di $x^2+x+1$
in $\Z_n$ $-$se esistono$-$ sono gli elementi di ordine $3$ del gruppo moltiplicativo $\Z_n^\times$.
Il gruppo $\Z_n^\times$ contiene elementi di ordine $3$ se e solo se il suo ordine $n-1$ e' divisibile per $3$.
E quindi la irriducibilita' di $x^2+x+1$ in $\Z_n[x]$ dipende solo dalla classe di $n$ modulo $3$.
Perchè di ordine 3?Ho capito che in pratica le radici di $x^3-1$ sono tutti e soli quegli elementi di $Z_n$ che hanno periodo 3, ma le radici di $x^3-1$ sono le stesse di $x^2+x+1$ ?
Hai ragione. Se $x$ e' uno zero di $X^3-1$, l'ordine di $x$ divide $3$ ed e'
quindi uguale a $1$ o a $3$. Pero, se l'ordine e' $1$, si ha che $x=1$.
Il fatto che $x^2+x+1=0$ implica adesso che $3=0$ in $\Z_n$....
Ecco perche' avevo escluso $n=3$.
quindi uguale a $1$ o a $3$. Pero, se l'ordine e' $1$, si ha che $x=1$.
Il fatto che $x^2+x+1=0$ implica adesso che $3=0$ in $\Z_n$....
Ecco perche' avevo escluso $n=3$.
Ok grazie 
,ora ciò che non capisco è : l'ordine di $Z_n$ è la sua cardinalità, quindi perchè come ordine intendiamo $n-1$ invece di n che è la sua cardinalità?
,ora ciò che non capisco è : l'ordine di $Z_n$ è la sua cardinalità, quindi perchè come ordine intendiamo $n-1$ invece di n che è la sua cardinalità?
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