Polinomi e campi
ragazzi è giusto questo ragionamento:
Considerato il polinomio $f=x^4-4$, si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando le risposte.
i) esiste un campo F tale che $f in F[X]$ ammette in $F$ esattamente due radici distinte;
ii) esiste un campo F tale che $f in F[x]$ non ammette in $F$ nessuna radice;
iii) esiste un campo F tale che $f in F[x]$ sia irriducibile.
in $F=R$, il polinomio $f$ non è irriducibile in quanto in R , f è irriducibile se e solo se ha grado 1 oppure ha grado 2 e il discriminante è < 0.
in $F=Q$ nemmeno è irriducibile, per il criterio di Eisenstein.
qualcuno può verificare le mie risposte e magari completarle eventualmente ci fossero errori?
Considerato il polinomio $f=x^4-4$, si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando le risposte.
i) esiste un campo F tale che $f in F[X]$ ammette in $F$ esattamente due radici distinte;
ii) esiste un campo F tale che $f in F[x]$ non ammette in $F$ nessuna radice;
iii) esiste un campo F tale che $f in F[x]$ sia irriducibile.
in $F=R$, il polinomio $f$ non è irriducibile in quanto in R , f è irriducibile se e solo se ha grado 1 oppure ha grado 2 e il discriminante è < 0.
in $F=Q$ nemmeno è irriducibile, per il criterio di Eisenstein.
qualcuno può verificare le mie risposte e magari completarle eventualmente ci fossero errori?
Risposte
ho notato che per $F=Z_4$ ammette due radici distinte $[4]$ e $[-4]$ è giusto? Ho un dubbio perchè qui chiede:
per la i) chiede:
ammette in F ESATTAMENTE due radici distinte.
ma in $Z_4$ anche $[2]$ e $[-2]$ sono radici.
per la i) chiede:
ammette in F ESATTAMENTE due radici distinte.
ma in $Z_4$ anche $[2]$ e $[-2]$ sono radici.
in $ZZ_4 f=x^4+4$ diventa $f=x^4$ che ha solo 0 come radice.
e comunque 4 e -4 sono congrui in $ZZ_4$ come anche 2 e -2.
-
in $ZZ_3 f=x^4-1$
quindi ponendo $x^4-1=0$ troviamo $x=+-sqrt(+-sqrt(1))=+-1$, tralasciando le soluzioni complesse.
-
in $QQ[x]$
$x=+-sqrt(+-sqrt(4))=+-sqrt(+-2) \Rightarrow \neg \exists x \in QQ | x^4=4$
poichè 2 radici sono reali e 2 complesse e il grado di $f(x)$ è 4
-
si, su $RR$ è riducibile.
su $QQ$ non puoi applicare Eisenstein in quanto l'unico primo che divide $a_0=4$ è $2$ ma $2^2=4$ quindi $p^2$ divide $a_0$. Questo non vuol dire che su $QQ$ sia irriducibile, in quanto Eisenstein è solo condizione sufficiente per l'irriducibilità, ma non necessaria.
Su $QQ$ è infatti riducibile in $(X^2+2)(X^2-2)$
Gli unici campi che rimangono sono gli $ZZ_p$ ma se $p>=5$ si vede che si può sempre fattorizzare in $(X^2+2)(X^2-2)$ in quanto $4\equiv 4 (mod p) \forall p\in NN$
in $ZZ_3$ ha delle radici, quindi è riducibile, in $ZZ_2 f(x)=x^4$ e $f(0)=0$ quindi ha radici anche in $ZZ_2$
Quindi dovrebbe non dovrebbe esistere un campo in cui f(x) è irriducibile.
e comunque 4 e -4 sono congrui in $ZZ_4$ come anche 2 e -2.
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in $ZZ_3 f=x^4-1$
quindi ponendo $x^4-1=0$ troviamo $x=+-sqrt(+-sqrt(1))=+-1$, tralasciando le soluzioni complesse.
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in $QQ[x]$
$x=+-sqrt(+-sqrt(4))=+-sqrt(+-2) \Rightarrow \neg \exists x \in QQ | x^4=4$
poichè 2 radici sono reali e 2 complesse e il grado di $f(x)$ è 4
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si, su $RR$ è riducibile.
su $QQ$ non puoi applicare Eisenstein in quanto l'unico primo che divide $a_0=4$ è $2$ ma $2^2=4$ quindi $p^2$ divide $a_0$. Questo non vuol dire che su $QQ$ sia irriducibile, in quanto Eisenstein è solo condizione sufficiente per l'irriducibilità, ma non necessaria.
Su $QQ$ è infatti riducibile in $(X^2+2)(X^2-2)$
Gli unici campi che rimangono sono gli $ZZ_p$ ma se $p>=5$ si vede che si può sempre fattorizzare in $(X^2+2)(X^2-2)$ in quanto $4\equiv 4 (mod p) \forall p\in NN$
in $ZZ_3$ ha delle radici, quindi è riducibile, in $ZZ_2 f(x)=x^4$ e $f(0)=0$ quindi ha radici anche in $ZZ_2$
Quindi dovrebbe non dovrebbe esistere un campo in cui f(x) è irriducibile.
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